[論文レビュー] Multiplicative Updates in Coordination Games and the Theory of Evolution

Erick Chastain, Adi Livnat+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2012

Evolution and Genetic Dynamics参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、弱い選択のもとで、性繁殖における自然選択が、遺伝子間の協調ゲームとして作用し、アレル頻度が混合可能性（遺伝的パートナー全体における平均適応度）を最大化するように進化することを確立している。主な結果は、均衡が大きなサポートを持つ可能性があることであり、これは高い遺伝的多様性が維持されることを示唆している。均衡の数に対する下界は、アレルの数に関して指数関数的であることが示された。

ABSTRACT

We study the population genetics of Evolution in the important special case of weak selection, in which all fitness values are assumed to be close to one another. We show that in this regime natural selection is tantamount to the multiplicative updates game dynamics in a coordination game between genes. Importantly, the utility maximized in this game, as well as the amount by which each allele is boosted, is precisely the allele's mixability, or average fitness, a quantity recently proposed in [1] as a novel concept that is crucial in understanding natural selection under sex, thus providing a rigorous demonstration of that insight. We also prove that the equilibria in two-person coordination games can have large supports, and thus genetic diversity does not suffer much at equilibrium. Establishing large supports involves answering through a novel technique the following question: what is the probability that for a random square matrix A both systems Ax = 1 and A^T y = 1 have positive solutions? Both the question and the technique may be of broader interest. [1] A. Livnat, C. Papadimitriou, J. Dushoff, and M.W. Feldman. A mixability theory for the role of sex in evolution. Proceedings of the National Academy of Sciences, 105(50):19803-19808, 2008.

研究の動機と目的

• 弱い選択下の集団遺伝学とゲーム理論的乗法的更新ダイナミクスとの間の関係を形式化すること。
• 性による進化の下で、混合可能性（遺伝的パートナー全体における平均適応度）が進化ダイナミクスの主要因であることを厳密に示すこと。
• このようなシステムにおける均衡が大きなサポートを持つ可能性があること、つまり遺伝的多様性が持続されることを証明すること。
• ランダム行列から導かれる線形系における正の解の存在を分析するための新規な数学的技法を開発すること。
• 協調ゲームと乗法的更新の知見を、再結合や性を含む進化遺伝学に拡張すること。

提案手法

• 遺伝子をプレーヤー、アレルを戦略、集団頻度を混合戦略とする協調ゲームとして、弱い選択下の進化をモデル化すること。
• アレル頻度の更新が、利得がアレルの混合可能性である乗法的更新ルールに従うことを示すこと。
• ワイズ多様体近似を用いて、弱い選択下でゲノタイプダイナミクスをアレル頻度の追跡に簡略化すること。
• ランダム行列 A に対して、Ax=1 および A^T y=1 がともに正の解をもつ確率を分析する変換技術を適用すること。
• 正の逆行列行和および列和を持つ行列の集合が、単位立方体内に測度 2^{-(2n-1)} 以上を占めることを証明すること。
• 組合せ的近似と行列解析を用いて、均衡の数に対する下界を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 協調ゲームにおける乗法的更新ルールは、弱い選択下の集団遺伝学におけるアレル頻度ダイナミクスとどのように関係するか？
• RQ2 混合可能性は、性繁殖下の進化ダイナミクスにおいて果たす役割は何か？ そして、従来の適応度最大化とはどのように異なるか？
• RQ3 進化システムにおける均衡が大きなサポートを持つ条件は何か？ これは、高い遺伝的多様性を示唆する。
• RQ4 ランダムな正方行列 A に対して、Ax=1 および A^T y=1 がともに正の解をもつ確率は何か？
• RQ5 多遺伝子系における多様性と均衡構造は、同様の手法を用いて特徴づけられるか？

主な発見

• 弱い選択下でのアレル頻度変化のダイナミクスは、遺伝子間の協調ゲームにおける乗法的更新と数学的に同等である。
• このゲームで最大化される利得は、正確にアレルの混合可能性（遺伝的パートナー全体における平均適応度）である。
• 2人協調ゲームにおける均衡は、大きなサポートを持つ可能性があり、これは均衡において遺伝的多様性が著しく減少しないことを示唆する。
• ランダム行列 A ∈ [-1,1]^{n×n} が、Ax=1 および A^T y=1 ともに正の解をもつ確率は、少なくとも 2^{-(2n-1)} 以上である。
• m×n の弱い選択下の適応度行列における k×k 均衡の期待数は、少なくとも 2(mn/(4k²))^k 以上であり、k < (1/2)√(mn) の場合、これは k に関して指数関数的である。
• モデルは、再結合が最適な固定組み合わせをもたらすのではなく、高混合可能性アレルを促進するため、性が進化の「バグ」ではなく「特徴」であることを示唆している。