[論文レビュー] Multiplicities of graded families of linear series and ideals

Steven Dale Cutkosky|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、任意の体上の射影的スキームおよび局所環上のグレード付き線型系列およびイデアル族における多重度の漸近的極限の存在に必要な十分条件を確立する。局所環 $ R $ が次元 $ d $ を持つとき、$ \mathfrak{m}_R $-極大イデアル族のグレード付き族に対して、極限 $ \lim_{n\to\infty} \frac{\ell_R(R/I_n)}{n^d} $ が存在するための必要十分条件は、$ R $ の $ \mathfrak{m}_R $--adic 完備化の零点部分環の次元が $ d $ より小さいことである。この結果は、元々の結果を任意の体および解析的に分岐していない局所環へと拡張し、体積-多重度公式およびイプシロン多重度極限への応用を含む。

ABSTRACT

We give simple necessary and sufficient conditions on projective schemes over a field k for asymptotic limits of the growth of all graded linear series of a fixed Kodaira-Iitaka dimension to exist. We also give necessary and sufficient conditions on a local ring R of dimension d for the limit \lim_{i ightarrow\infty}\frac{\ell_R(R/I_n)}{n^d} to exist whenever \{I_n\} is a graded family of m_R-primary ideals. We give a number of applications.

研究の動機と目的

• 任意の体上の射影的スキーム上におけるグレード付き線型系列族の漸近的多重度極限の存在に必要な十分条件を特定すること。
• 局所環 $ R $ の $ \mathfrak{m}_R $-極大イデアル族のグレード付き族に対して、極限 $ \lim_{n\to\infty} \frac{\ell_R(R/I_n)}{n^d} $ が存在する条件を確立すること。
• 元々の体が完全で、特徴が等しい環の範囲に限られていた体積-多重度公式およびイプシロン多重度極限に関する結果を、一般の解析的に分岐していない局所環へと拡張すること。
• グレード付きイデアル族における多重度および体積の漸近的公式を一般化し、加法性公式および体積解釈を含むこと。

提案手法

• 非完全体の扱いに際して、非分離拡張による非還元的スキームの問題を避けるために、基本拡張および還元技術の使用。
• 成長率および漸近的極限を分析するために、グレード付き線型系列および小平・板倉次元の理論の応用。
• 漸近的多重度の解釈および計算に、デルタ不変量およびオクウンコフ体積の利用。
• 商環の台における最大次元の素イデアル上での多重度の加法性公式の利用。
• 局所環の完備化における零点部分環の構造を活用して、極限の存在を特徴付ける。
• 最小素イデアルに沿った分解と多重度の加法性を利用し、還元的で完全な局所ドメインの状況に帰着する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所環 $ R $ の $ \mathfrak{m}_R $-極大イデアル族のグレード付き族に対して、極限 $ \lim_{n\to\infty} \frac{\ell_R(R/I_n)}{n^d} $ が存在する条件は何か？
• RQ2 体 $ k $ 上の射影的スキームに対して、小平・板倉次元が $ \geq \alpha $ であるグレード付き線型系列族の漸近的極限の存在に必要な十分条件は何か？
• RQ3 特徴が等しく、残渣体が完全な環に限られていたグレード付きイデアル族の体積-多重度公式を、どのように一般化できるか？
• RQ4 完全でない残渣体をもつ解析的に分岐していない局所環において、イプシロン多重度極限の存在を確立できるか？
• RQ5 局所環 $ R $ の $ \mathfrak{m}_R $--adic 完備化における零点部分環の役割は、漸近的多重度極限の存在を決定づける上で果たすものか？

主な発見

• 局所環 $ R $ が次元 $ d $ を持つとき、$ \mathfrak{m}_R $-極大イデアル族のグレード付き族に対して、極限 $ \lim_{n\to\infty} \frac{\ell_R(R/I_n)}{n^d} $ が存在するための必要十分条件は、$ R $ の $ \mathfrak{m}_R $--adic 完備化の零点部分環の次元が $ d $ より小さいことである。
• 次元 $ d $ のネーター局所環 $ R $ に対して、$ R $ が解析的に分岐していない場合、およびその完備化の零点部分環の次元が $ d $ より小さい場合、極限が存在する。これは、元々の結果を任意の解析的に分岐していない環へと一般化する。
• グレード付き族に対して $ s < d $ のとき、漸近的多重度公式 $ \lim_{n\to\infty} \frac{e_s(\mathfrak{m}_R, R/I_n)}{n^{d-s}/(d-s)!} = \sum_{q\in A} \left( \lim_{k\to\infty} \frac{e((I_k)_q)}{k^{d-s}} \right) e(\mathfrak{m}_{R/q}) $ が成り立つ。ここで $ A $ は、十分大きな $ n $ に対して $ (I_n)_q $ が $ q_q $-極大となる素イデアルの集合である。
• 体積-多重度公式は、解析的に分岐していない局所環へと拡張され、バリエーションイデアルおよび一般の $ \mathfrak{m}_R $-極大イデアル族に対しても成り立つ。これは、Kaveh-Khovanskii、Ein-Lazarsfeld-Smith、Mustata の結果を一般化する。
• イプシロン多重度極限 $ \limsup \frac{\ell_R(R/I_n)}{n^d} $ が解析的に分岐していない環において存在し、体積積分に等しいことが示された。これは、Ulrich と Validashti の結果を拡張する。
• 論文は、完備化の零点部分環の次元が $ d $ に等しい場合、極限が存在しないグレード付き $ \mathfrak{m}_R $-極大イデアル族が存在することを証明し、次元条件の鋭さを確立した。