[論文レビュー] Multiplicities of the discrete series

Paul-Émile Paradan|ArXiv.org|Nov 29, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 29被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、実半単純リー群の離散的系列表現の多重度を、任意のコンパクト連結部分群に関して幾何学的に計算するものであり、'量子化は還元と可換である'原理を用いる。これらの多重度が、形式的幾何学的量子化を介して余随伴軌道上のシンプレクティック還元から生じることを証明し、最大でないコンパクト部分群への拡張を図り、非コンパクト設定への軌道法の一般化を達成する。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to show that the multiplicities of a discrete series representation relatively to a compact subgroup can be "computed" geometrically, in the way predicted by the "qantization commutes with reduction" principle of Guillemin-Sternberg.

研究の動機と目的

• 任意のコンパクト連結部分群に関して、離散的系列表現の多重度を幾何学的に計算する手法を提供すること。
• 離散的系列表現の文脈において、'量子化は還元と可換である'原理を最大でないコンパクト部分群へ拡張すること。
• シンプレクティック還元を用いた余随伴軌道上の形式的幾何学的量子化フレームワークを確立し、多重度を計算すること。
• 幾何学的量子化とモーメント写像還元を用いて、ハリシュ・チャンドラの正則離散的系列構成を一般化すること。
• ハリシュ・チャンドラとブラットナーのパラメータが強楕円的要素の同一のチャネルにある条件下で、多重度が有限かつ計算可能であることを確認すること。

提案手法

• 予量子化された適切なハミルトニアン K-多様体に形式的幾何学的量子化を適用し、モーメント写像を用いる。
• 離散的系列表現に関連する余随伴軌道 O_Λ に対して '量子化は還元と可換である' 原理を適用する。
• キリロフ＝コスタント＝ソリアウのシンプレクティック形式と余随伴軌道上の G-不変複素構造を用いて、幾何学的量子化を定義する。
• モーメント写像 Φ_K: O_Λ → 𝔤* を用い、整数的重みでのシンプレクティック還元により表現空間を還元する。
• トランスバーサル楕円的記号理論と等変インデックス理論を用いて、R^{-∞}(H) 内の量子化インデックスを計算する。
• 群準同型 φ: H → K を通じた表現の制限の形式的体系に依拠し、量子化が適切に定義されるための H-適切性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト部分群に関して、シンプレクティック還元と幾何学的量子化を用いて、離散的系列表現の多重度を幾何学的に計算できるか？
• RQ2 離散的系列表現の文脈において、'量子化は還元と可換である' 原理は、最大でないコンパクト部分群に対しても成立するか？
• RQ3 ハリシュ・チャンドラとブラットナーのパラメータが強楕円的要素の同一のチャネルにあるとき、多重度はどのように振る舞うか？
• RQ4 形式的幾何学的量子化手順は、メタプレクティック（スピン）設定を超えて、これらの多重度を計算する上で果たす役割は何か？
• RQ5 離散的系列表現をコンパクト部分群 H に制限する際に、どのような条件下でその次元が有限になり、シンプレクティック幾何学を用いて計算可能になるか？

主な発見

• コンパクト連結部分群 H に関する離散的系列表現の多重度は、H-重み ξ における余随伴軌道 O_Λ のシンプレクティック還元の形式的幾何学的量子化によって与えられる。
• 多重度が有限である限り、任意のコンパクト連結部分群 H に対してこの結果が成り立ち、従来の最大コンパクト部分群に制限された結果を一般化する。
• H が K において最大でない場合でも、'量子化は還元と可換である' 原理と整合的である。
• M が H-多様体として適切である限り、形式的量子化インデックス Q^{-∞}_K(M) は、準同型 φ: H → K による制限で Q^{-∞}_H(M) に一致する。
• 制限写像 φ* は適切性を保ち、量子化と可換であり、幾何学的計算の整合性を保証する。
• 主な技術的結果は、Q^{-∞}_K(M)|_H = Q^{-∞}_H(M) の等式であり、等変インデックス理論と積多様体上のシンプレクティック還元を用いて証明される。