[論文レビュー] Multiplicity and concentration behavior of solutions for a quasilinear problem involving $N$-functions via penalization method

Claudianor O. Alves, Ailton R. da Silva|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 32被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、Orlicz-Sobolev空間におけるペナルティ法を用いて、$N$-関数を含む非線形項を有する準線形楕円型問題に対して、正の解の存在、多重性、および集中を確立する。変分的技法を適応し、適切な摂動関数を構成することで、著者らはパラメータ$\epsilon \to 0$のとき、解がポテンシャル$V$の最小集合付近に集中することを証明した。これは、$p$-ラプラシアンを超えるより広いクラスの$\Phi$-ラプラシアン作用素へ、先行研究を拡張するものである。

ABSTRACT

In this work, we study the existence, multiplicity and concentration of positive solutions for the following class of quasilinear problem: \[ - Δ_Φu + V(εx)ϕ(\vert u\vert)u = f(u)\quad \mbox{in} \quad \mathbb{R}^{N}, \] where $Φ(t) = \int_{0}^{\vert t\vert}ϕ(s)sds$ is a N-function, $ Δ_Φ$ is the $Φ$-Laplacian operator, $ε$ is a positive parameter, $ N\geq 2$, $V : \mathbb{R}^{N} ightarrow \mathbb{R} $ is a continuous function and $f : \mathbb{R} ightarrow \mathbb{R} $ is a $C^{1}$-function.

研究の動機と目的

• 非線形項として$N$-関数によって定義される一般の$\Phi$-ラプラシアン作用素を用いる準線形問題に対して、$p$-ラプラシアンを超える存在および集中結果を拡張すること。
• 特に$V$が条件$(V_0)$および$(V_1)$を満たす場合に、一般のポテンシャル幾何構造下で$\Phi$-ラプラシアン方程式の多重性および集中に関する結果が不足している現状に対処すること。
• 非一様成長に起因する解析的困難を克服するため、新しい推定量を導出し、特徴的なペナルティ法を用いて$C^1$-正則化関数$\eta$を構成すること。
• 従来の半線形および$p$-ラプラシアン設定からの結果を、非標準的成長を有する準線形問題へ一般化するため、Orlicz-Sobolev空間理論を用いて拡張すること。

提案手法

• 解の局所化を実現するため、$V$の臨界集合に近い位置に解を集めるためにペナルティ法を用い、元の問題をOrlicz-Sobolev空間における摂動変分問題に変換する。
• 重要な構成として、区間$[t_0, t_1]$上に定義された$C^1$関数$\widetilde{\eta}$を定義し、$\widehat{h}(s) = \min\left(\frac{f(s)}{\phi(s)}, \frac{V_0}{k}s\right)$を上から支配し、両端点における値および微分が一致するようにする。
• $\eta(s) = \phi(s)\widetilde{\eta}(s)$を用いて、元の問題の構造を保ちつつ変分的枠組みにおけるコンパクト性を可能にする修正非線形項$\widehat{f}(s)$を定義する。
• 証明は、$V(x) \geq V_0 > 0$であり、かつ$V$の下界が境界での最小値より厳密に小さい有界な集合$\Omega$が存在することを仮定する。
• $N$-関数の性質と$\Phi$-ラプラシアン作用素$\Delta_\Phi u = \mathrm{div}(\phi(|\nabla u|)\nabla u)$を用いて、重要な推定量を導出し、汎関数が適切に定義され、強制的であることを保証する。
• $\epsilon \to 0$の極限における集中挙動を分析し、解のピーク位置が$\mathcal{V} = \{x \in \mathbb{R}^N : V(x) = \min V\}$に収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ$\epsilon > 0$が十分小さいとき、準線形問題$-\Delta_\Phi u + V(\epsilon x)\phi(|u|)u = f(u)$が複数の正の解を有するための$V$および$f$に関する条件は何か？
• RQ2 古典的モーザー型技法が失敗する非標準的成長を有する$\Phi$-ラプラシアン問題において、ペナルティ法はどのように適応可能か？
• RQ3 一般の$N$-関数およびOrlicz-Sobolev空間の文脈において、$\epsilon \to 0$のとき解の集中挙動はどのように特徴づけられるか？
• RQ4 解の多重性は、集合$\mathcal{V} = \{x : V(x) = \min V\}$の位相的豊かさとどのように関連付けることができるか？
• RQ5 $p$-ラプラシアンや半線形ケースと比較して、$\Phi$-ラプラシアン問題における非一様成長に起因する解析的困難を扱うために、どのような新しい解析的技法が必要か？

主な発見

• 有界な開集合$\Omega \subset \mathbb{R}^N$に対して$V(x) \geq V_0 > 0$かつ$\inf_\Omega V < \min_{\partial\Omega} V$を満たす条件下で、すべての十分に小さい$\epsilon > 0$に対して少なくとも1つの正の解が存在する。
• 正の解の数は、集合$\mathcal{V}$のクレアノセルスキーカテゴリーによって下から抑えられ、$\mathcal{V}$の位相的非自明性が多重性を示唆する。
• $\epsilon \to 0$のとき、解は最小集合$\mathcal{V} = \{x \in \mathbb{R}^N : V(x) = \min V\}$に集中し、ピーク位置は$\mathcal{V}$に収束する。
• 関数$\eta(s) = \phi(s)\widetilde{\eta}(s)$を新たに構成し、$\eta(s) \leq \widehat{f}(s)$かつ両端点で値と微分が一致するようにし、ペナルティ法の適用を可能にする。
• 集中は定量的に特徴づけられる：任意の列$\epsilon_n \to 0$に対して、対応する解の最大点はハウスドルフ距離の意味で$\mathcal{V}$に収束する。
• 従来の技法（例：モーザー反復）の制限を克服するため、$N$-関数における非一様成長に特化した新しいペナルティ戦略を導入した。