[論文レビュー] Multiplicity and stability of the Pohozaev obstruction for Hardy-Schr\\"odinger equations with boundary singularity

Nassif Ghoussoub, Saikat Mazumdar+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2019

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、原点における境界特異性を有するハーディー・シュレーディンガー方程式におけるポホジャエフ障害の多重性と安定性を確立する。高エネルギー解の鋭い blown-up 分析を用いて、$\gamma < \frac{n^2}{4} - 1$ かつ原点における主曲率が非正だがすべてゼロでない場合に、無限個の符号変化解の存在を証明する。さらに、$\Omega$ が星型で $h$ が小さいときでさえ、古典的ポホジャエフ条件を越えて $C^1$-摂動の下で正解が存在しないことを示す。

ABSTRACT

Let $\\Omega$ be a smooth bounded domain in $\\mathbb{R}^n$ ($n\\geq 3$) such that $0\\in\\partial \\Omega$. In this memoir, we consider issues of non-existence, existence, and multiplicity of variational solutions in $H_{1,0}^2(\\Omega)$ for the borderline Dirichlet problem, $-\\Delta u-\\gamma \\frac{u}{|x|^2}- h(x) u = \\frac{|u|^{{2^\\star(s)}-2}u}{|x|^s}$ in $\\Omega$, where $0&lt;s&lt;2$, ${{2^\\star(s)}}:=\\frac{2(n-s)}{n-2}$, $\\gamma\\in\\mathbb{R}$ and $h\\in C^0(\\overline{\\Omega})$. We use sharp blow-up analysis on --possibly high energy-- solutions of corresponding subcritical problems to establish, for example, that if $\\gamma&lt;\\frac{n^2}{4}-1$ and the principal curvatures of $\\partial\\Omega$ at $0$ are non-positive but not all of them vanishing, then the above equation has an infinite number of (possibly sign-changing) solutions in ${H_{1,0}^2(\\Omega)}$. This complements results of the first and third authors, who had previously shown that if $\\gamma\\leq \\frac{n^2}{4}-\\frac{1}{4}$ and the mean curvature of $\\partial\\Omega$ at $0$ is negative, then the equation has a positive solution. On the other hand, the sharp blow-up analysis also allows us to prove that if the mean curvature at $0$ is non-zero and if the mass (when defined) does not vanish, then there is a surprising stability under $C^1$-perturbations of the potential $h$ of those regimes where no variational positive solutions exist. In particular, and in sharp contrast with the non-singular case (i.e., when $\\gamma=s=0$), we show non-existence of such solutions for (E) in any dimension, whenever $\\Omega$ is star-shaped and $h$ is close to $0$, which include situations not covered by the classical Pohozaev obstruction.

研究の動機と目的

• 臨界ハーディー・シュレーディンガー方程式が原点に境界特異性を有する場合の変分解の存在、非存在、多重性を調査すること。
• 方程式におけるポテンシャル $h$ の $C^1$-摂動の下でのポホジャエフ障害の安定性を理解すること。
• 幾何的およびスペクトル的条件 $\gamma$ と境界曲率の下で、最小エネルギー解の既存結果を拡張し、高エネルギーで、符号変化を許容する無限個の解の存在を確立すること。
• 高エネルギー解を扱うために、サブ臨界近似に対する鋭い blown-up 分析フレームワークを構築すること。

提案手法

• 臨界方程式のサブ臨界近似の解に対して鋭い blown-up 分析を用い、特異点 0 の近傍における正確な漸近的プロファイルを導出する。
• スケーリング補題を適用し、高エネルギー解のすべての可能な集中状態を網羅する blown-up スケールを構築する。
• 強い点ごとの推定とコンパクト性定理を用いて、境界および原点近傍における解の挙動を制御する。
• 局所化されたポホジャエフ恒等式を用いて、さまざまなスケーリング状態下での $L^{2^\star(s)}$ および $L^2$ 項、曲率寄与項、境界項を推定する。
• 原点および無限遠における特定の漸近的挙動を有するグリーン関数の存在と一意性を確立し、作用素の強制性を分析する上で不可欠である。
• ケルビン変換と強制性の議論を用いて、点ごとの減衰および増大推定を得ることで、グリーン関数 $\mathcal{G}_p$ の存在および一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的およびスペクトル的条件下で、原点に境界特異性を有するハーディー・シュレーディンガー方程式が $H_{1,0}^2(\Omega)$ 内に無限個の高エネルギーで符号変化を許容する解を有するための条件は何か？
• RQ2 領域 $\Omega$ が星型で $h$ が小さいときでさえ、ポテンシャル $h$ の $C^1$-摂動の下で、古典的ポホジャエフ障害が安定化されるか？
• RQ3 ${\gamma < \frac{n^2}{4} - 1}$ のとき、境界特異点近傍における解およびグリーン関数の正確な漸近的挙動は何か？
• RQ4 原点における平均曲率および質量が、$h$ の小さな摂動の下で正解の存在または非存在に与える影響は何か？
• RQ5 $\beta_+(\gamma) - \beta_-(\gamma)$ の違いが、 blown-up 速度および解のコンパクト性を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• $\gamma < \frac{n^2}{4} - 1$ かつ $\partial\Omega$ の原点における主曲率が非正だがすべてゼロでないとき、方程式は $H_{1,0}^2(\Omega)$ 内に無限個の高エネルギーで、符号変化を許容する解を有する。
• $\gamma \leq \frac{n^2}{4} - \frac{1}{4}$ かつ原点における平均曲率が負のとき、方程式は正の最小エネルギー解を有し、既存の結果を拡張する。
• 原点における平均曲率が非ゼロで、質量も非ゼロであるとき、正解の非存在領域は、$C^1$-摂動の下でも安定しており、古典的ポホジャエフ条件を越えて成立する。
• 星型領域および $h$ が 0 に十分近いとき、正の変分解は存在しない。これは、古典的ポホジャエフ障害を越える驚くべき非存在結果を示している。
• $\mathbb{R}_-^n$ 上の作用素 $-\Delta - \frac{\gamma}{|x|^2}$ に対するグリーン関数 $\mathcal{G}_p$ は存在し、$|x_1||x|^{-\beta_-(\gamma)}$ の定数倍を除き一意であり、原点および無限遠における正確な漸近的挙動を満たす。
• 解の blown-up 速度は、指数 $\beta_+(\gamma)$ および $\beta_-(\gamma)$ によって鋭く特徴づけられ、$\beta_+(\gamma) - \beta_-(\gamma) = 1$ と $\neq 1$ で異なる挙動を示し、コンパクト性および存在性の結果を導く。