[論文レビュー] Multiplicity of continuous maps between manifolds

Роман Карасев|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、写像 $f^*TN - TM$ の特徴類を用いて、多様体間の連続写像の重複度に関する下界を確立する。配置空間における $\Sigma_q$-等化同調類の分析を通じて、非自明な特徴類（例えばスティーフェル＝ブライトン類やポントリャーギン類）が、一致する $q$-重点の存在を保証することを示す。主な結果として、実射影空間からユークリッド空間への写像に対して非自明な重複度の下界が得られる。

ABSTRACT

We consider a continuous map $f :M o N$ between two manifolds and try to estimate its multiplicity from below, i.e. find a $q$-tuple of pairwise distinct points $x_1,..., x_q\in M$ such that $f(x_1) = f(x_2) = ... = f(x_q)$. We show that there are certain characteristic classes of vector bundle $f^*TN-TM$ that guarantee a bound on the multiplicity of $f$. In particular, we prove some non-trivial bound on the multiplicity for a continuous map of a real projective space of certain dimension into a Euclidean space.

研究の動機と目的

• 連続写像 $f: M \to N$ における複数点（一致する $q$-重点）の存在の十分条件を確立すること。
• 滑らかさや一般性の仮定なしに、二重点や浸漬写像に関する結果を一般の連続写像へと拡張すること。
• 実射影空間からユークリッド空間への写像の重複度に対する下界を導出すること。
• 等化同調を用いて、配置空間の Krasnosel’skii-Schwarz 生成数と Lyusternik-Schnirelmann 類数を推定すること。
• 埋め込みや低重複度の浸漬写像の存在を妨げる特徴類を導入し、計算すること。

提案手法

• $M$ 内の相異なる $q$ 個の点の配置空間 $K^q(M)$ を、自由な $\Sigma_q$-作用を備えて用いる。
• $K^q(M)$ における $\Sigma_q$-等化同調類 $s_q(f) \in H^{n(q-1)}_{\Sigma_q}(K^q(M))$ を分析し、一致する $q$-重点を除去できない障害とみなす。
• 分割原理を適用して、仮想バンドル $f^*TN - TM$ の特徴類をスティーフェル＝ブライトン類およびポントリャーギン類の形に表現する。
• $q=2^l$ の場合の特徴類 $s_{q,m-n}$ と、$p$ を素数として $p$-進の特徴類 $\alpha_{p,i}$ を導入し、複数点を検出する。
• 表現バンドル $A_q \otimes (\xi^\perp \oplus \eta)$ のオイラー類を用いて、$K^q(M)$ 内の非自明な同調類を検出する。
• 補題 4 を適用し、非自明な同調類が $K^q(M)/\Sigma_q$ の生成数および類数の下界と関係することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続写像 $f: M \to N$ に対して、仮想バンドル $f^*TN - TM$ のどの特徴類が一致する $q$-重点の存在を保証するか？
• RQ2 実射影空間 $\mathbb{R}P^n$ からユークリッド空間 $\mathbb{R}^m$ への連続写像に対して、非自明な重複度の下界を確立できるか？
• RQ3 正規バンドル $TM^\perp$ の特徴類が、配置空間 $K^q(M)$ の生成数および類数にどのように影響するか？
• RQ4 奇素数 $p$ に対して、$p$-主特徴類（mod $p$）が一致する $p$-重点を検出する役割を果たすか？
• RQ5 同調的障害を用いて、$K^q(M)/\Sigma_q$ の Krasnosel’skii-Schwarz 生成数および Lyusternik-Schnirelmann 類数を下から抑えられるか？

主な発見

• ある条件下で、$e(A_q \otimes (\xi^\perp \oplus \eta))$ は非自明であり、一致する $q$-重点の存在を示唆する。
• $q = 2^l$ のとき、$H^{n(q-1)}_{\Sigma_q}(K^q(M))$ 内のクラス $s_{q,m-n}$ が非自明であれば、複数点を検出できる。
• 定理 3 は、$n$ が十分に大きいとき、連続写像 $f: \mathbb{R}P^n \to \mathbb{R}^m$ に対して非自明な重複度の下界を確立する。
• 素数 $p$ に対する $p$-重点では、非自明なクラス $\alpha_{p,i}(\eta - \xi)$ が複数点を検出でき、$\dim \eta - \dim \xi + 1 \leq 2i$ を満たす。
• 系 5 は、$q$ が 2 のべきのとき、$\bar{w}_{d+1}^{q-1} \neq 0$ ならば $g(K^q(M)) \geq (m+d)(q-1)+1$ を得る。
• 系 7 は、ある $i$ に対して $\bar{\alpha}_{p,i} \neq 0$ ならば $g(K^p(M)) \geq (m+2i-1)(p-1)+1$ を示し、$p$-重点の生成数の推定を行う。