[論文レビュー] Multiplicity of negative-energy solutions for singular-superlinear Schrödinger equations with indefinite-sign potential

Carlos Alberto Santos, Ricardo Alves Lima+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^N$ 上の符号不定型ポテンシャルを有する特異的・超線形シュレーディンガー方程式に対して、変分法およびネハリ多様体技術を用いて、複数の正の解の存在を確立する。エネルギー汎関数の非微分可能性およびネハリ集合における境界の非空な交差という課題にもかかわらず、著者らは互いに交わらない境界を持つ集合を構成し、それらの上でのエネルギーの最小化によって、極値パラメータ値 $\hat{\lambda}$ を超える負エネルギー解の多重性を証明する。これは、符号変化非線形性を有する非有界領域への先行研究の拡張である。

ABSTRACT

We are concerned with the multiplicity of positive solutions for the singular superlinear and subcritical Schrödinger equation $$ \begin{array}{c} -Δu +V(x)u=λa(x)u^{-γ}+b(x)u^{p}~\mbox{in}~ \mathbb{R}^{N}, \end{array} $$ beyond the Nehari extremal value, as defined in Il'yasov [Topol. Methods Nonlinear Anal., 2017], when the potential $b \in L^{\infty}(\mathbb{R}^{N})$ may change its sign, $00$ is a real parameter. The main difficulties come from the non-differentiability of the energy functional and the fact that the intersection of the boundaries of the connected components of the Nehari set is non empty. We overcome these difficulties by exploring topological structures of that boundary to build non-empty sets whose boundaries have empty intersection and minimizing over them by controlling the energy level.

研究の動機と目的

• 特異的・超線形シュレーディンガー方程式が $\mathbb{R}^N$ 上に符号不定型ポテンシャルを有する場合に、複数の正の解の存在を確立すること。
• エネルギー汎関数の非微分性およびネハリ集合における境界成分の非空な交差という問題に取り組むこと。
• 非有界領域設定において、ネハリ多様体を用いて定義される極値パラメータ値 $\hat{\lambda}$ を超える多重性結果を拡張すること。
• 極値パラメータにおいてエネルギー準位 $\tilde{J}^{-}_{\hat{\lambda}}} = 0$ が成立することを証明し、多重性閾値の鋭さを保証すること。

提案手法

• エネルギー汎関数の臨界点を分析するため、変分法およびネハリ多様体フレームワークを用いる。
• ネハリ集合における境界の非空な交差という問題を克服するため、境界が互いに交わらない非空な集合を構成する。
• これらの集合上で最小化を適用することでエネルギー準位を制御し、解の存在を保証する。
• ネハリ集合境界の位相的構造を用いて、減少的かつ左連続なエネルギー汎関数 $\tilde{J}^{-}_{\lambda}$ を定義する。
• ポホジャエフのファイバリング法およびネハリの古典的議論を用いて、臨界パラメータの分析を精緻化する。
• マウンテンパス定理および変分的枠組みにおける下上解法を用いて、解の存在および多重性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 極値パラメータ $\hat{\lambda}$ を超える範囲において、$\mathbb{R}^N$ 上の符号不定型ポテンシャルを有する特異的・超線形シュレーディンガー方程式に対して、複数の正の解が存在することを証明できるか？
• RQ2 変分解析において、エネルギー汎関数の非微分性およびネハリ集合境界成分の非空な交差をどのように克服できるか？
• RQ3 パラメータ $\hat{\lambda}$ が解の多重性閾値を決定する上で果たす正確な役割は何か？
• RQ4 エネルギー準位 $\tilde{J}^{-}_{\hat{\lambda}}$ が極値値において消えるか？ そしてこれは多重性結果の鋭さに何を意味するか？

主な発見

• 本稿では、$\lambda < \hat{\lambda}$ に対して少なくとも2つの正の解が存在することを証明しており、イルヤソフが定義した古典的極値値を越えて多重性が維持されることを示している。
• エネルギー準位 $\tilde{J}^{-}_{\hat{\lambda}}} = 0$ が確立され、$\hat{\lambda}$ が多重性の鋭い閾値であることが示されている。
• 境界が互いに交わらない集合上に最小化列を構成することで、エネルギー汎関数の下界が達成され、$\lambda < \hat{\lambda}$ に対して厳密に負であることが保証されている。
• 任意の解 $u_\lambda$ に対して $\lambda^* \geq \lambda$ が成り立つことが示され、ここで $\lambda^*$ は関連する固有値問題の第一固有値から導かれる臨界パラメータである。
• ネハリ集合 $\mathcal{N}_\lambda^-$ 内の解 $w_\lambda$ に対して、すべての $0 < \lambda < \hat{\lambda}$ に対して $\Phi_\lambda(w_\lambda) > 0$ が成り立つことが確認され、負エネルギー解の存在が裏付けられている。
• エネルギー汎関数 $\tilde{J}^{-}_{\lambda}$ は $0 < \lambda < \lambda_* + \epsilon$ に対して減少的かつ左連続であることが示され、解分岐の連続性および単調性が支持されている。