[論文レビュー] Multiplicity of positive solutions for a class of fractional Schrödinger equations via penalization method

Vincenzo Ambrosio|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、局所的最小値を持つポテンシャル $ V(x) $ と超線形的かつ臨界的でない成長条件を満たす非線形項 $ f(u) $ を持つ分数階シュレーディンガー方程式に対して、正の解の多重性を確立する。ペナルティ法とリューステルニク＝シュナイレルマンのカテゴリー理論を用いて、$ \varepsilon > 0 $ が十分小さいとき、解の個数は集合 $ M = \{x \in \Lambda : V(x) = V_0\} $ のカテゴリーによって下から抑えられることを示し、解は $ V $ の最小値点付近に集中する。二重力の非線形項については切断とモーザー反復を用いて拡張される。

ABSTRACT

By using the penalization method and the Ljusternik-Schnirelmann theory, we investigate the multiplicity of positive solutions of the following fractional Schrödinger equation $$ \e^{2s}(-Δ)^{s} u + V(x)u = f(u) \mbox{ in } \mathbb{R}^{N} $$ where $\varepsilon>0$ is a parameter, $s\in (0, 1)$, $N>2s$, $(-Δ)^{s}$ is the fractional Laplacian, $V$ is a positive continuous potential with local minimum, and $f$ is a superlinear function with subcritical growth. We also obtain a multiplicity result when $f(u)=|u|^{q-2}u+λ|u|^{r-2}u$ with $20$, by combining a truncation argument and a Moser-type iteration.

研究の動機と目的

• 正のパラメータ $ \varepsilon > 0 $ を持つ特異的摂動を伴う分数階シュレーディンガー方程式のクラスに対して、正の解の存在と多重性を確立すること。
• 解の個数が集合 $ M = \{x \in \Lambda : V(x) = V_0\} $ の位相的複雑さ（トポロジー）とどのように関係するかを特定すること、ここで $ V_0 = \inf V(x) $ である。
• 非線形項 $ f(u) = |u|^{q-2}u + \lambda|u|^{r-2}u $ に対して、多重性の結果を $ 2 < q < 2_s^* \leq r $ および $ \lambda > 0 $ の場合に拡張すること。
• 解の集中行動を $ \varepsilon \to 0 $ のとき分析し、解のグローバル最大値が $ V(x) = V_0 $ を満たす点に収束することを示すこと。

提案手法

• 非コンパクト領域 $ \mathbb{R}^N $ と無限遠における $ V(x) $ の情報の欠如に起因するコンパクト性の欠如を扱うために、ペナルティ法を適用する。
• 変数変換 $ u(x) \mapsto u(\varepsilon x) $ を用いて、元の問題を $ \mathbb{R}^N $ 上の $ \varepsilon $-に依存しない方程式に変換する。
• 関連エネルギー汎関数の臨界点の個数を推定するために、リューステルニク＝シュナイレルマンのカテゴリー理論を用いる。
• 二重力の非線形項 $ f(u) = |u|^{q-2}u + \lambda|u|^{r-2}u $ を取り扱うために、切断法を用い、汎関数が必要なコンパクト性条件を満たすように保証する。
• 解の一様 $ L^\infty $ 界を示すために、モーザー型反復法を適用する。これは収束性および正則性解析に不可欠である。
• 分数階ラプラシアンと局所的退化型楕円型問題を上半空間で結びつけるために、Caffarelli-Silvestre拡張に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ \varepsilon \to 0 $ のとき、分数階シュレーディンガー方程式 $ \varepsilon^{2s}(-\Delta)^s u + V(x)u = f(u) $ に対して正の解はいくつ存在するか？
• RQ2 正の解の個数と集合 $ M = \{x \in \Lambda : V(x) = V_0\} $ のトポロジーの関係は何か？
• RQ3 非線形項 $ f(u) = |u|^{q-2}u + \lambda|u|^{r-2}u $ で、$ 2 < q < 2_s^* \leq r $ の場合に多重性の結果を拡張できるか？
• RQ4 $ \varepsilon \to 0 $ のとき、解はどこに集中するのか？また、これはポテンシャル $ V(x) $ とどのように関係するか？

主な発見

• 任意の $ \delta > 0 $ に対して、$ M_\delta = \{x \in \mathbb{R}^N : \text{dist}(x,M) \leq \delta\} \subset \Lambda $ が成り立つとき、ある $ \varepsilon_\delta > 0 $ が存在し、すべての $ \varepsilon \in (0, \varepsilon_\delta) $ に対して、方程式は少なくとも $ \text{cat}_{M_\delta}(M) $ 個の正の解をもつ。
• 各正の解 $ u_\varepsilon $ は、$ \lim_{\varepsilon \to 0} V(x_\varepsilon) = V_0 $ を満たす点 $ x_\varepsilon $ の周辺に集中する。つまり、ポテンシャルの最小値点付近に集中する。
• 非線形項 $ f(u) = |u|^{q-2}u + \lambda|u|^{r-2}u $ で $ 2 < q < 2_s^* \leq r $ および $ \lambda > 0 $ の場合に、切断とモーザー反復法を用いて、多重性の結果が拡張される。
• 解は一様に $ L^\infty $ に有界であり、その界は $ \lambda $、$ K $、および問題パラメータに依存する。これにより、$ \lambda $ が小さい場合に解の存在が保証される。
• 解の個数は、$ M $ の $ M_\delta $ におけるリューステルニク＝シュナイレルマンのカテゴリーによって制御され、臨界点の個数に対する位相的下界を提供する。