[論文レビュー] Multiplicity one Conjectures

Steve Rallis, Gérard Schiffmann|arXiv (Cornell University)|May 15, 2007

Advanced Mathematical Theories参考文献 2被引用数 21

ひとこと要約

この論文は、非アーチメデス的局所体 F 上の一般線型群およびユニタリ群の表現における多重性1予想を検討し、GL(n) が GL(n+1) 上に作用する随伴作用に関して不変な分布は、転置作用についても不変であると提案する。著者らは問題を特異的台を持つ分布に還元し、n ≤ 8 に対して予想を証明した。また、直交群およびユニタリ群についての類似結果は、降下技法と分層された特異的台に関する帰納法によって、GL(n) の場合に還元可能であることを示した。

ABSTRACT

In the first part, in the local non archimedean case, we consider distributions on GL(n+1) which are invariant under the adjoint action of GL(n). We conjecture that such distributions are invariant by transposition. This would imply multiplicity at most one for restrictions from GL(n+1) to GL(n). We reduce ourselves to distributions with "singular" support and then finish the proof for n< 9. In the second part we show that similar Theorems for orthogonal or unitary groups follow from the case of GL(n)

研究の動機と目的

• GL(n+1,F) の既約適切表現が GL(n,F) に制限されて多重性が1以下となることを確立すること。
• GL(n,F) の随伴作用に関して不変な GL(n+1,F) 上の分布が、転置作用についても不変であることを証明すること。
• 一般線型群のケースに還元することで、直交群およびユニタリ群への多重性1予想を拡張すること。
• 不変測度とFubini型の議論を用いて、分層された特異的台に沿った分布を解析する降下法を開発すること。
• ユニタリ群の予想が、分層された特異的台に関する帰納法によって GL(n) の場合に帰着できることを示すこと。

提案手法

• Harish-Chandra の降下と Frobenius 双対性にインspiredされた初等的降下法を用い、問題を特異的台を持つ分布に還元する。
• 線形化：随伴作用の軌道に注目することで、リー代数レベルでの分布を考察する。
• 不変測度論の適用：分布が GL(n) に関して不変であることは、モジュラ関数を用いた安定化部分群の作用に関して不変であることと同値である。
• Fubini の定理とHaar測度の正規化を用いて、G/H_x と H/H_x 上の積分を関連付け、可積分性条件の同値性を確立する。
• G/H_x 上の分布と H/H_x 上の分布の間の双対写像 θ を導入し、θ(S) が軌道写像による引き戻しに対応することを示す。
• H/H_x 上にモジュラー関数 Δ_G/Δ_H を持つ相対的不変測度が存在することは、G/H_x 上に不変測度が存在することと同値であり、Δ_G|H_x = Δ_Hx という条件下で成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GL(n+1,F) の既約適切表現が GL(n,F) に制限される際に、どのような条件下で多重性が1以下になるか？
• RQ2 GL(n,F)-不変な分布が GL(n+1,F) 上に存在する場合、すべてが転置作用についても不変であるか？
• RQ3 ユニタリ群における多重性1予想は、一般線型群のケースに還元可能か？
• RQ4 特異的台は、GL(n,F)-不変な非ゼロ分布の存在を妨げるか、あるいは許容するか？
• RQ5 軌道上に相対的不変測度が存在することは、関数の可積分性と分布の不変性にどのように関係するか？

主な発見

• n ≤ 8 の範囲で、GL(n+1,F) → GL(n,F) 制限における多重性1予想が成立し、特異的台上で非ゼロの GL(n,F)-不変分布が存在しないことが示された。
• 予想2 — GL(n,F)-不変な分布が GL(n+1,F) 上に存在する場合、それらが転置作用についても不変である — が成り立てば、多重性1予想が成立する。
• ユニタリ群の場合、特異的台が G-安定な分層構造を持ち、対合と整合的であれば、多重性1予想は GL(n) の場合に帰着可能である。
• H/H_x 上にモジュラー関数 Δ_G/Δ_H を持つ相対的不変測度が存在することは、G/H_x 上に不変測度が存在することと同値である。
• G/H_x 上の分布と H/H_x 上の分布の間の双対写像 θ は可積分性を保ち、適切な試験関数に対して ⟨θ(S), f⟩ = ⟨S, φ⟩ を満たす。
• 降下法により、コンパクト開部分群への有限和への還元が可能となり、Fubini の定理の適用と測度の正規化が可能になった。