[論文レビュー] Multiplicity one for the mod $p$ cohomology of Shimura curves: the tame case

Yongquan Hu, Haoran Wang|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、正規の場合の志村曲線の mod $p$ コホロロジーにおける一意性を確立する。すなわち、$p$ 上の場所 $v$ における局所ガロア表現 $ar{\rho}$ が正規かつ一般的であるとき、関連する $ {GL}_2(F_v)$-表現の $K_1$-不変部分空間は、ブリュアとパシュクナスによって構成された表現 $D_0(\bar{\rho})$ に同型であり、この部分空間が $ar{\rho}$ のみに依存し、一意性を満たすことを示す。

ABSTRACT

Let $F$ be a totally real field, $\mathfrak{p}$ an unramified place of $F$ dividing $p$ and $\overline{r}: \mathrm{Gal}(\overline{F}/F) ightarrow\mathrm{GL}_2(\overline{\mathbb{F}}_p)$ a continuous irreducible modular representation. The work of Buzzard, Diamond and Jarvis associates to $\overline{r}$ an admissible smooth representation of $\mathrm{GL}_2(F_\mathfrak{p})$ on the mod $p$ cohomology of Shimura curves attached to indefinite division algebras which split at $\mathfrak{p}$. When $\overline{r}|_{\mathrm{Gal}(\overline{F_\mathfrak{p}}/F_\mathfrak{p})}$ is tamely ramified and generic (and under some technical assumptions), we determine the subspace of invariants of this representation under the principal congruence subgroup of level $\mathfrak{p}$. In particular, it depends only on $\overline{r}|_{\mathrm{Gal}(\overline{F_\mathfrak{p}}/F_\mathfrak{p})}$ and verifies a multiplicity one property.

研究の動機と目的

• 志村曲線の mod $p$ コホロロジーにおける $ {GL}_2(F_v)$-表現の $K_1$-不変部分空間の構造を特定すること。
• 局所ガロア表現 $ar{\rho}$ が正規かつ一般的である場合に、この部分空間に対して一意性の性質を確立すること。
• $\pi^D_v(\bar{r})^{K_1}$ が $v$ における局所ガロア表現 $\bar{\rho}$ のみに依存し、グローバルなデータには依存しないことを確認すること。
• コホロロジー的実現を通じて、仮説的な mod $p$ 局所ラングランズ対応に対する局所的制約を提供すること。

提案手法

• 最小決定式の patched functor $M^\min_{\bar{r},\infty}$ を用いて、mod $p$ コホロロジー上の $ {GL}_2(F_v)$-表現 $\pi^D_v(\bar{r})$ を分析する。
• 補題 2.29 の局所的基準を適用し、$\Gamma = \r{GL}_2(k_v)$-表現と $\pi^D_v(\bar{r})^{K_1}$ 間の $ {Hom}$-空間の次元を制限する。
• 正規の慣性型とそれに対応する格子を用いて、ブリュア＝パシュクナスによる $D_0(\bar{\rho})$ の構成に依存する。
• セレの予想の重み部と、$\bar{V}(\tau_v)$ のジョルダン・ホルダー成分の構造を用いて、$\pi^D_v(\bar{r})^{K_1}$ の socle を分析する。
• 論文 [13] の pro-$p$ フィラトリア固定ベクトルに関する結果を用い、問題を最小パッチングフレームワークに還元する。
• 正規型とその格子の理論を用いて、$ {Hom}$-空間と変形環上の整合的層の構造を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所ガロア表現 $\bar{\rho}$ が正規かつ一般的であるとき、志村曲線の mod $p$ コホロロジーにおける $ {GL}_2(F_v)$-表現の $K_1$-不変部分空間は一意性の性質を満たすか？
• RQ2 $K_1$-不変部分空間は、$v$ における局所ガロア表現 $\bar{\rho}$ のみを用いて記述可能か？
• RQ3 $K_1$-不変部分空間は、ブリュアとパシュクナスによって構成された表現 $D_0(\bar{\rho})$ に同型か？
• RQ4 部分空間 $\pi^D_v(\bar{r})^{K_1}$ は、そのジョルダン・ホルダー成分のインジェクティブ包の直和に埋め込まれるか？
• RQ5 最小パッチングファンクタ $M^\min_{\bar{r},\infty}$ は、$\pi^D_v(\bar{r})^{K_1}$ の構造をどのように制約するか？

主な発見

• $\bar{\rho}$ が正規かつ一般的であるとき、$\pi^D_v(\bar{r})^{K_1}$ は $\r{GL}_2(\mathcal{O}_{F_v})$-表現として $D_0(\bar{\rho})$ に同型である。
• 各 $\sigma \in \mathscr{D}(\bar{\rho}_v)$ に対して、$\mathrm{Hom}_{\Gamma}(V_{\sigma}^\circ / \varpi_E V_{\sigma}^\circ, \pi^D_v(\bar{r})^{K_1})$ の次元はちょうど 1 である。これにより一意性が確認される。
• 部分空間 $\pi^D_v(\bar{r})^{K_1}$ は、そのジョルダン・ホルダー成分のインジェクティブ包の直和に埋め込まれており、局所的基準が満たされている。
• 整合的層 $M^\min_{\bar{r},\infty}((V_{\sigma})^\circ)$ は $R^\min_{\infty,\tau_v}$ 上でランク 1 の自由層であるため、関連する $ {Hom}$-空間の次元は 1 以下である。
• $\pi^D_v(\bar{r})^{K_1}$ の $\r{GL}_2(\mathcal{O}_{F_v})$-socle は $\bigoplus_{\sigma \in \mathscr{D}(\bar{\rho}_v)} \sigma$ に同型であり、バザール＝ダミアン＝ジャービスの予想と一致する。
• やや弱いタイラー＝ワイエルズ型の仮定のもとで結果が成り立ち、定義された四元数代数の場合へも拡張可能であり、設定間での一貫性が確認される。