[論文レビュー] Multiplicity One Theorem for the Ginzburg-Rallis Model: the tempered case

Chen Wan|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、p進および実局所体上のテンパード表現の場合に、ギンツブルグ＝ラリス・モデルの多重度1定理を証明し、標準的およびクaternion的モデルにおける多重度の和が1に等しいことを確立する。ワルドスブルグおよびブーツァル＝プレシスの手法を用いて、局所的相対的トレース公式を通じて幾何的多重度公式を導出し、アーキメデス的の場合に多重度をepsilons因子に関連付ける。

ABSTRACT

Following the method developed by Waldspurger and Beuzart-Plessis in their proof of the local Gan-Gross-Prasad conjecture, we are able to prove the multiplicity one theorem for the Ginzburg-Rallis model over the Vogan packets in the tempered case. In some cases, we can also relate the multiplicity to the epsilon factor. This is a sequel of our work \cite{Wan15} in which we consider the supercuspidal case.

研究の動機と目的

• p進および実局所体上のテンパード表現の場合に、ギンツブルグ＝ラリス・モデルの多重度1定理を確立すること。
• 江の予想、すなわち、分裂的およびクaternion的モデルにおける多重度の和がテンパード表現に対して1に等しいことを検証すること。
• アーキメデス的の場合に、標準的L関数のepsilons因子と多重度を関連付けること。
• ギンツブルグ＝ラリス・モデルに対して局所的相対的トレース公式を構築し、それを用いて幾何的多重度公式を導出すること。
• ワルドスブルグおよびブーツァル＝プレシスの手法を、既存の超臨界的ケースの研究に基づき、ギンツブルグ＝ラリス設定へと拡張すること。

提案手法

• 局所的ガーン＝グラス＝プラサド予想に対するワルドスブルグの手法と、ユニタリケースに対するブーツァル＝プレシスの技術を用いる。
• ギンツブルグ＝ラリス・モデルに対する局所的相対的トレース公式を適用し、積分 $ I(f) = \int_{H(F)\backslash G(F)} I(f,g) dg $ で定義される。ここで $ I(f,x) = \int_{Z_H(F)\backslash H(F)} f(x^{-1}hx) \xi(h)\omega(h) dh $ である。
• 関数 $ C_c^\infty(Z_G(F)\backslash G(F), \chi^{-2}) $ 内の強超臨界的関数の概念を用い、重み付き軌道積分を介してスペクトル側を定義する。
• 群 $ G(F) $ 上の準キャラクター $ \theta_f $ を導入し、正則半単純元 $ t \in T_{\text{reg}}(F) $ におけるその胚展開が係数 $ c_{\theta_f, \mathcal{O}_t}(t) $ を与える。
• 幾何的多重度 $ m_{\text{geom}}(\pi) $ を、$ \mathcal{T} $ に属するトーラス $ T $ に関する和として定義し、$ |W(H,T)|^{-1} \nu(T) \int_{Z_G(F)\backslash T(F)} c_\pi(t) D^H(t) \chi(\det(t))^{-1} dt $ を含む。
• ジャコブ＝ラングランズ対応を用いて、$ \mathrm{GL}_6(F) $ 上の表現と $ \mathrm{GL}_3(D) $ 上の表現を関連付け、テンパード表現 $ \pi $ に対して $ m(\pi) + m(\pi_D) = 1 $ を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テンパード表現 $ \mathrm{GL}_6(F) $ に対して、ギンツブルグ＝ラリス・モデルの多重度は0か1に等しいか。
• RQ2 分裂的およびクaternion的ギンツブルグ＝ラリス・モデルにおける多重度の和は、テンパード表現に対して1に等しいか。
• RQ3 nilpotent軌道およびトーラスを含むトレース公式を通じて、多重度を幾何的に表現できるか。
• RQ4 アーキメデス的の場合に、epsilons因子 $ \epsilon(1/2, \pi, \wedge^3) $ と多重度の関係は何か。
• RQ5 超臨界的ケースで用いられた手法を、ワルドスブルグおよびブーツァル＝プレシスの技術を用いて、テンパードケースへと拡張できるか。

主な発見

• 任意の中心特徴が $ \chi^2 $ である $ \mathrm{GL}_6(F) $ の非可約テンパード表現 $ \pi $ に対して、多重度 $ m(\pi) \leq 1 $ が成り立ち、$ m(\pi) + m(\pi_D) = 1 $ が成り立つ。ここで $ \pi_D $ は $ \mathrm{GL}_3(D) $ へのジャコブ＝ラングランズ転送である。
• $ F = \mathbb{R} $ の場合、多重度 $ m(\pi) = 1 $ であるための必要十分条件は $ \epsilon(1/2, \pi, \wedge^3) = 1 $ であり、$ m(\pi) = 0 $ であるための必要十分条件は $ \epsilon(1/2, \pi, \wedge^3) = -1 $ である。
• p進体の場合、同じepsilons因子の条件が多重度を決定する：$ \pi $ が離散的系列でない限り、$ m(\pi) = 1 \iff \epsilon(1/2, \pi, \wedge^3) = 1 $ が成り立つ。
• 幾何的多重度公式 $ m(\pi) = m_{\text{geom}}(\pi) $ はテンパード表現に対して成り立ち、トーラス $ T \in \mathcal{T} $ に関する和と、準キャラクターの胚展開から得られる係数を含む。
• 強超臨界的関数に対してトレース公式積分 $ I(f) $ は絶対収束するため、スペクトル側および幾何的側の分解が正当化される。
• 本手法により、超臨界的ケースからテンパードケースへの多重度1定理の拡張に成功し、この設定における江の予想の検証を完了した。