[論文レビュー] Multiplicity results for a quasilinear equation with singular nonlinearity

Kaushik Bal, Prashanta Garain|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$p$-ラプラシアンと特異項 $\lambda / u^\delta$、およびべき乗型非線形項 $u^q$ を含む特異な準線形楕円型問題に対して、少なくとも2つの正の解の存在を確立する。境界は厳密凸かつ $C^2$ 条件を満たすものとする。分岐理論、修正されたホフプの補題による一様境界推定、および吹き出し解析を用いて、$\delta > 0$ および $\lambda < \Lambda$ の場合に多重性を示し、以前の結果で要求されていた $\delta < 1$ の制限を拡張する。解は $u^\alpha, v^\alpha \in W_0^{1,p}(\Omega)$ を満たす、ある $\alpha > 0$ に対して成り立つ。主な貢献は、退化する $p$-ラプラシアン設定において一般の $\delta > 0$ に対して多重性を示したことであり、従来の手法の制限を克服した。

ABSTRACT

For an open, bounded domain $\Om$ in $\mathbb{R}^N$ which is strictly convex with $C^2$ boundary, we show that there exists a $\land&gt;0$ such that the singular quasilinear problem \begin{eqnarray*} &amp;-\delp u =\cfracλ{u^{\del}}+u^q\,\,\mbox{in}\,\,\Om\\ &amp;u=0\,\,\mbox{on}\,\,\partial\Om;\, \,\,u&gt;0\,\,\mbox{in}\,\,\Om \end{eqnarray*} admits atleast two solution $ u$ and $v$ in $W^{1,p}_{loc}(\Om)\cap L^{\infty}(\Om)$ for any $\del&gt;0$ and $00$.

研究の動機と目的

• 正則化された問題に対して解の存在を確立するため、Ambrosetti-Arcoya の分岐理論を用いる。
• $p$-ラプラシアンにおける退化を克服するため、境界付近での一様な正の下界を得るために、修正されたホフプの補題を適用する。
• Gidas-Spruck のインスパイアを受けて、吹き出し解析を用いて最大値を分離し、境界付近での集中を制御する。
• 正則化された解の境界推定を得るために、ケルビン変換と比較原理を用いる。
• Castorina-Sanchón の技術を応用して、正則化された設定における対称性と単調性を確立するための移動平面法を適応する。
• スタンパチアの反復法と強力な比較原理を用いて、解の成長を制御し、2つの解の相違を保証する。

提案手法

• 正則化問題に対する解の存在を示すために、Ambrosetti-Arcoya の分岐理論を用いる。
• 退化を克服するため、$p$-ラプラシアンに対して修正されたホフプの補題を適用し、境界付近での一様な正の下界を確立する。
• Gidas-Spruck のインスパイアを受けて、吹き出し解析を用い、最大値を分離し、境界付近での集中を制御する。
• 正則化された解の境界推定を得るために、ケルビン変換と比較原理を用いる。
• Castorina-Sanchón の技術を応用して、正則化された設定における移動平面法を適応し、対称性と単調性を確立する。
• スタンパチアの反復法と強力な比較原理を用いて、解の成長を制御し、2つの解の相違を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異 $p$-ラプラシアン問題における解の多重性は、$\delta < 1$ の場合を越えて拡張可能か？
• RQ2 $\delta \geq 1$ の場合に、$p$, $q$, および $\Omega$ にどのような条件を課せば、2つの異なる正の解が存在するか？
• RQ3 $p$-ラプラシアン問題における特異非線形性に対して、一様な境界推定をどのように確立できるか？特に、標準的手法（ケルビン変換など）が失敗する場合に。
• RQ4 ある $\alpha > 0$ に対して、$u^\alpha$ の $W_0^{1,p}$-可積分性に関して、解にどの程度の正則性を保証できるか？
• RQ5 $p$-ラプラシアンの退化を克服し、移動平面法を用いて解の対称性と単調性を証明することは可能か？

主な発見

• $\Lambda > 0$ が存在し、任意の $0 < \lambda < \Lambda$ に対して、問題は $W^{1,p}_{\text{loc}}(\Omega) \cap L^\infty(\Omega)$ 内の少なくとも2つの異なる解 $u, v$ を持つ。
• ある $\alpha > 0$ に対して、解は $u^\alpha, v^\alpha \in W_0^{1,p}(\Omega)$ を満たし、解構造の十分な可積分性を保証する。
• 多重性結果は $\delta > 0$ に対して成り立ち、以前の結果で要求されていた $\delta < 1$ の制限を拡張する。
• 非線形項が下臨界的であり、吹き出しおよび比較技術の適用を可能にするために、$p-1 < q < \frac{p(N-1)}{N-p} - 1$ の条件が有効である。
• 修正されたホフプの補題による一様境界推定により、すべての解が $\partial\Omega$ 付近でゼロから離れて保たれ、吹き出し解析が可能になる。
• 2つの解は、$\|u_n\|_\infty \leq \mu$, $\|v_n\|_\infty \geq \mu + \epsilon > \mu$ という $L^\infty$-ノルムにおける厳密な順序付けにより相違しており、これは極限でも保持される。