[論文レビュー] Multiplicity results for $(p,\, q)$ fractional elliptic equations involving critical nonlinearities

Mousomi Bhakta, Debangana Mukherjee|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、変分法を用いて、有界領域における$(p,q)$分数階楕円型方程式の凹型・臨界非線形項に対して、無限個の非自明な解の存在を確立する。凸型・臨界非線形項の場合には、濃縮・コンパクトネス法と臨界点理論を用いて、少なくとも$\text{cat}_{\Omega}(\Omega)$個の非負解の存在を証明する。

ABSTRACT

In this paper we prove the existence of infinitely many nontrivial solutions for the class of $(p,\, q)$ fractional elliptic equations involving concave-critical nonlinearities in bounded domains in $\mathbb{R}^N$. Further, when the nonlinearity is of convex-critical type, we establish the multiplicity of nonnegative solutions using variational methods. In particular, we show the existence of at least $cat_Ω(Ω)$ nonnegative solutions.

研究の動機と目的

• 有界領域における$(p,q)$分数階楕円型方程式の凹型・臨界非線形項に対して、無限個の非自明な解の存在を確立すること。
• 非線形項が凸型・臨界型である場合に、複数の非負解の存在を証明すること。
• 変分法を有界領域における非局所的$(p,q)$分数階ラプラシアン設定に拡張すること。
• 濃縮・コンパクトネス原理と臨界点理論を用いて、分数階ソボレフ埋め込みにおけるコンパクトネスの欠如を克服すること。
• 解の多重性が領域$\Omega$の位相的カテゴリー$\text{cat}_{\Omega}(\Omega)$とどのように関連するかを明らかにすること。

提案手法

• 非局所ギャリャルド半ノルムを含む、分数階ソボレフ空間$X_{0,s_1,p}(\Omega)$とその関連ノルムを用いる。
• 分数階ソボレフ空間$X_{0,s_1,p}(\Omega)$から$L^{p^*_{s_1}}(\Omega)$への埋め込みにおけるコンパクトネスの欠如を処理するために、濃縮・コンパクトネス原理を適用する。
• 方程式に関連するエネルギー汎関数を解析し、臨界閾値以下の(PS)条件を証明することで、変分法を適用する。
• クラソノセルスキーの位相的次元と変形補題を用いて、複数の臨界点の存在を確立する。
• マウンテンパス補題と変形論的議論を用いて、エネルギー汎関数の臨界点を特定する。
• 位相的道具、特に$\text{cat}_{\Omega}(\Omega)$を用いて、解の数の推定を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界領域における$(p,q)$分数階楕円型方程式の凹型・臨界非線形項に対して、無限個の非自明な解の存在を証明できるか？
• RQ2 非線形項が凸型・臨界型である場合、非負解の正確な個数は何か？
• RQ3 領域$\Omega$の位相的性質は、$(p,q)$分数階楕円型問題の解の個数にどのように影響するか？
• RQ4 濃縮・コンパクトネス法を非局所的$(p,q)$分数階設定に適応することで、コンパクトネスを回復できるか？
• RQ5 分数階ラプラシアン作用素$(-\Delta)^{s_1}_p$と$(-\Delta)^{s_2}_q$は、解の多重性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 非線形項が凹型・臨界型であるとき、方程式$(P_{\theta,\lambda})$は無限個の非自明な解を有する。
• 凸型・臨界非線形項の場合、方程式は少なくとも$\text{cat}_{\Omega}(\Omega)$個の非負解を有する。
• エネルギー汎関数は、臨界レベル$\frac{s_1}{N}(S_{s_1,p})^{N/(s_1 p)}$以下の(PS)条件を満たし、臨界点理論の適用が可能である。
• 複数の解の存在は、領域$\Omega$の位相的カテゴリーに強く関連しており、解の個数は$\text{cat}_{\Omega}(\Omega)$によって下から抑えられる。
• 濃縮・コンパクトネス法は、分数階ソボレフ埋め込み$X_{0,s_1,p}(\Omega) \hookrightarrow L^{p^*_{s_1}}(\Omega)$におけるコンパクトネスの欠如を効果的に制御できた。
• 証明は、変形再びの構成と奇関数の応用に依拠しており、部分レベル集合のカテゴリーと臨界点の個数の関係を確立する。