[論文レビュー] Multiplicity results for the fractional laplacian in expanded domains

Giovany M. Figueiredo, Marcos T. O. Pimenta+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、変分法、Ljusternick-Schnirelmannカテゴリー、およびモーレ理論を用いて、拡大する領域 $\Omega_\lambda = \lambda\Omega$ における分数階ラプラシアン方程式 $(-\Delta)^\alpha u + u = h(u)$ の非自明な弱解の多重性に関する結果を確立する。$\lambda$ が十分に大きい場合、解の数は領域の位相的不変量によって下から抑えられ、少なくとも $\operatorname{cat}(\Omega_\lambda)$ 個の解が存在し、領域が可縮でない場合には $\operatorname{cat}(\Omega_\lambda)+1$ 個以上が存在する。さらに、Poincaré多項式を用いたモーレ理論により、より良い下界が得られる。

ABSTRACT

In this paper we establish the multiplicity of nontrivial weak solutions for the problem $(-Δ)^α u +u= h(u)$ in $Ω_λ$,\ $u=0$ on $\partialΩ_λ$, where $Ω_λ=λΩ$, $Ω$ is a smooth and bounded domain in $\mathbb{R}^N, N>2α$, $λ$ is a positive parameter, $α\in (0,1)$, $(-Δ)^α$ is the fractional Laplacian and the nonlinear term $h(u)$ has a subcritical growth. We use minimax methods, the Ljusternick-Schnirelmann and Morse theories to get multiplicity result depending on the topology of $Ω$.

研究の動機と目的

• 拡大領域 $\Omega_\lambda = \lambda\Omega$ における分数階ラプラシアン方程式の非自明な弱解の存在および多重性を確立すること。
• 解の数が領域 $\Omega_\lambda$ の位相的不変量、特にLjusternick-SchnirelmannカテゴリーおよびPoincaré多項式とどのように関連するかを明らかにすること。
• 従来の古典的ラプラシアン方程式に関する結果を、変分法および臨界点理論を用いて分数階設定へと拡張すること。
• 領域が拡大するパrameter $\lambda$ の増加に伴い、解の数がどのように増加するかを分析すること。
• 領域 $\Omega_\lambda$ の位相的性質に基づいた、解の数の鋭い下界を提供すること。非可縮領域を含む。

提案手法

• 有界で滑らかな領域 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$（$N > 2\alpha$）における $\alpha \in (0,1)$ の分数階ラプラシアン $(-\Delta)^\alpha$ の使用。
• エネルギー汎関数を定義するための変分法の適用。その臨界点は方程式の弱解に対応する。
• 領域 $\Omega_\lambda$ の位相的性質に基づいて臨界点の数を推定するためのLjusternick-Schnirelmannカテゴリーの応用。
• Poincaré多項式 $\mathcal{P}_1(\Omega_\lambda)$ を用いたモーレ理論の使用により、多重性のより良い下界が得られる。
• Nehari法を用いて、$\mathcal{M}_\lambda$ という多様体上の制約付き汎関数に問題を還元。これにより、臨界点の有界性および正則性が保証される。
• 変形補題およびホモロジー同型を用いて、$\Omega_\lambda$ の位相とエネルギー汎関数の部分レベル集合の位相とを関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 領域 $\Omega_\lambda$ が $\lambda \to \infty$ に伴い拡大する際、分数階ラプラシアン方程式の非自明な弱解の数はどのように増加するか？
• RQ2 Ljusternick-Schnirelmannカテゴリーなどの領域 $\Omega_\lambda$ の位相的不変量が解の数を予測できるか？
• RQ3 部分的成長およびAmbrosetti-Rabinowitz条件を満たす非線形項 $h(u)$ が多重性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 モーレ理論は、Ljusternick-Schnirelmann理論に比べて、解の数に対するより鋭い下界を提供できるか？
• RQ5 $h(u)$ に関する仮定、特に $h(s)/s$ が単調増加であることおよび $\theta H(s) \leq s h(s)$ を満たすことの、解の多重性に与える影響は何か？

主な発見

• すべての $\lambda \geq \lambda^*$ に対して、$\operatorname{cat}(\Omega_\lambda)$ 個以上の弱解が存在する。ここで $\operatorname{cat}$ はLjusternick-Schnirelmannカテゴリーを表す。
• $\Omega_\lambda$ が可縮でない（すなわち $\operatorname{cat}(\Omega_\lambda) > 1$）場合、すべての $\lambda \geq \lambda^*$ に対して少なくとも $\operatorname{cat}(\Omega_\lambda) + 1$ 個の弱解が存在する。
• より強い微分可能性の仮定の下で、モーレ理論により、すべての $\lambda > \lambda^*$ に対して少なくとも $2\mathcal{P}_1(\Omega_\lambda) - 1$ 個の解が存在する。ここで $\mathcal{P}_1$ は $t=1$ におけるPoincaré多項式の値である。
• 解の数は、ホモトピー型を除いて形状の詳細に依存しない、領域 $\Omega_\lambda$ の位相的性質によって厳密に決定される。
• 結果は領域の小さな摂動に対しても安定しており、正則な正則値および離散的臨界集合の存在に依存する。
• 多重性の下界は、位相的不変量から導かれており、提示された条件を越えて $h$ に追加の仮定を設けても改善されないため、鋭いものである。