[論文レビュー] Multiplier Hopf algebras imbedded in C$^*$-algebraic quantum groups

Kenny De Commer, Alfons Van Daele|ArXiv.org|Nov 28, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 9被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、局所コンパクトな量子群に埋め込まれた乗数ホップ代数の解析的構造を調査し、適切な条件下で、このような代数が完全な解析的構造を引き継ぎ、代数的量子群となることを示している。主な結果は、∗-代数的量子群のスケーリング定数が1でなければならないことであり、ハール測度の下でスケーリング群が相対的不変性ではなく、実際に不変であることを示すことで、分野における未解決問題を解決している。

ABSTRACT

Let $(A,Δ)$ be a locally compact quantum group and $(A_0,Δ_0)$ a regular multiplier Hopf algebra. We show that if $(A_0,Δ_0)$ can in some sense be imbedded in $(A,Δ)$, then $A_0$ will inherit some of the analytic structure of $A$. Under certain conditions on the imbedding, we will be able to conclude that $(A_0,Δ_0)$ is actually an algebraic quantum group with a full analytic structure. The techniques used to show this, can be applied to obtain the analytic structure of a $^*$-algebraic quantum group {\it in a purely algebraic fashion}. Moreover, the {\it reason} that this analytic structure exists at all, is that the one-parameter groups, such as the modular group and the scaling group, are diagonizable. In particular, we will show that necessarily the scaling constant $μ$ of a $^*$-algebraic quantum group equals 1. This solves an open problem.

研究の動機と目的

• 局所コンパクトな量子群$(A, \triangle)$に埋め込まれた正則な乗数ホップ代数$A_0$が、周囲の量子群から解析的構造を引き継ぐかどうかを調査すること。
• このような埋め込みが、完全な解析的構造を持つ代数的量子群にどのようにしてなるかの条件を特定すること。
• ∗-代数的量子群のスケーリング定数μが1でなければならないかどうかという未解決問題を解明すること。
• 解析的手法を回避して、∗-代数的量子群における正の右不変関数の存在を純粋な代数的導出によって示すこと。
• ∗-代数的量子群の文脈において、一パrameter群（モジュラー群およびスケーリング群）の対角化が持つ構造的意味を調査すること。

提案手法

• comultiplicationの整合性を用いて、乗数ホップ代数$A_0$を局所コンパクトな量子群$(A, \triangle)$へ埋め込む：$\triangle_0(a)(1 \otimes b) = \triangle(a)(1 \otimes b)$（$a,b \in A_0$）。
• C∗-代数$A$への埋め込みとvon Neumann代数$M$への埋め込みを区別し、軽微な条件下で、C∗-代数への埋め込みのみが一パrameter群の下で不変性をもたらすことを示す。
• モジュラー群およびスケーリング群の一パrameter群の対角化を用いて、スケーリング定数$\mu$が1でなければならないことを導出する。
• 双対性およびペアリング理論の技術を用い、特にコンパクトな量子群$\mathscr{B} = SU_q(2)$の双対を用いて、明示的な例を構成する。
• $\mathscr{B}$と$A_0 = U_q(su(2))$のペアリングを用いて、$A_0$を$M(\widehat{\mathscr{B}})$、すなわち双対の乗数代数の内に稠密な∗-部分代数として実現する。
• $A_0$の生成子$K$および$E$におけるモジュラー群$\sigma_z$およびスケーリング群$\theta_z$の作用を分析し、$\sigma_z(E) = q^{2iz}E$、$\sigma_z(K) = K$、$\theta_z(E) = q^{2iz}E$、$\theta_z(K) = K$であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所コンパクトな量子群に埋め込まれた正則な乗数ホップ代数は、周囲のC∗-代数的量子群から解析的構造を引き継げるか？
• RQ2 このような埋め込みが、乗数ホップ代数が代数的量子群となる条件は何か？
• RQ3 スケーリング定数$\mu$が∗-代数的量子群において1でなければならないかどうか、かつ、以前の結果がスケーリング群の相対的不変性しか示さなかったとしても？
• RQ4 正の右不変関数の存在が、解析的手法を回避して純粋に代数的に示せるか？
• RQ5 モジュラー群およびスケーリング群の1パラメータ群が、∗-代数的量子群の生成子上でどれほど対角的に作用するか、そしてそれが全体の構造に与える影響は何か？

主な発見

• ∗-代数的量子群のスケーリング定数$\mu$は、必然的に1である。これは[8]で提示された未解決問題を解決する。
• モジュラー群およびスケーリング群の1パラメータ群は、$U_q(su(2))$の生成子上で対角的に作用し、$\sigma_z(E) = q^{2iz}E$、$\sigma_z(K) = K$、$\theta_z(E) = q^{2iz}E$、$\theta_z(K) = K$である。
• $\mathscr{B} = SU_q(2)$とのペアリングを通じて、$A_0 = U_q(su(2))$を$M(\widehat{\mathscr{B}})$に埋め込むことで、$A_0$がモジュラー群およびスケーリング群の下で不変な乗数ホップ∗-代数として実現される。
• $A_0$はモジュラー群およびスケーリング群の下で不変であるが、$A_0$に属さない$\delta^{it} = K^{-4it}$による左乗法の下では不変でない。
• $A_0 \cap \widehat{\mathscr{B}} = \{0\}$であるため、$A_0$は双対量子群のC∗-代数に含まれない。
• ∗-代数的量子群における正の右不変関数の存在は、解析的構成に依存せずに、純粋に代数的に導出可能である。