[論文レビュー] Multiplier Hopf *-algebras with positive integrals: A laboratory for locally compact quantum groups

Alfons Van Daele|ArXiv.org|May 27, 2002

Advanced Operator Algebra Research参考文献 14被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、正の積分を備えた乗算器ホップ ∗-代数が、局所コンパクトな量子群の基礎的な代数的モデルを提供することを確立しており、C*-フレームワークの解析的複雑さを避けながら、双対性、フーリエ変換、モジュラー理論といった主要構造の研究を可能にする。中心的な貢献は、フーリエ変換を用いてモジュラー共役作用素およびモジュラー作用素の関係を導出することであり、双対系の構造がこの変換のもとで保存されることを示している。

ABSTRACT

Any multiplier Hopf *-algebra} with positive integrals gives rise to a locally compact quantum group (in the sense of Kustermans and Vaes). As a special case of such a situation, we have the compact quantum groups (in the sense of Woronowicz) and the discrete quantum groups (as introduced by Effros and Ruan). In fact, the class of locally compact quantum groups arising from such multiplier Hopf *-algebras} is self-dual. The most important features of these objects are (1) that they are of a purely algebraic nature and (2) that they have already a great complexity, very similar to the general locally compact quantum groups. This means that they can serve as a good model for the general objects, at least from the purely algebraic point of view. They can therefore be used to study various aspects of the general case, without going into the more difficult technical aspects, due to the complicated analytic structure of a general locally compact quantum group. In this paper, we will first recall the notion of a multiplier Hopf *-algebra} with positive integrals. Then we will illustrate how these {\it algebraic quantum groups} can be used to gain a deeper understanding of the general theory. An important tool will be the Fourier transform. We will also concentrate on certain actions and how they behave with respect to this Fourier transform. On the one hand, we will study this in a purely algebraic context while on the other hand, we will also pass to the Hilbert space framework.

研究の動機と目的

• 正の積分を備えた乗算器ホップ ∗-代数が、局所コンパクトな量子群を研究するための完全に代数的な枠組みを提供することを示すこと。
• このような代数的量子群が、一般の局所コンパクトな量子群のすべての本質的特徴、すなわち双対性およびモジュラー理論を捉えていることを示すこと。
• 双対系における左正則表現が生成するフォン・ノイマン代数の関係を特定するために、フーリエ変換を道具として用いること。
• 定義4.6で定義された関数 f を用いて、双対系におけるモジュラー共役作用素とモジュラー作用素の関係を明確にすること。
• まず代数的ケースを習得することで、一般の局所コンパクトな量子群の理論を理解するための足がかりを提供すること。

提案手法

• 論文は、局所コンパクトな量子群の代数的基盤をなす正の積分を備えた乗算器ホップ ∗-代数の定義を想起することで出発する。
• 双対な乗算器ホップ ∗-代数のペア (A, B) を導入し、ヒルベルト空間 H と Ĥ 間のユニタリ作用素としてのフーリエ変換 F を構成する。
• フーリエ変換を用いて、H 上のフォン・ノイマン代数 M と N、および Ĥ 上の N̂ と M̂ を関連づけ、F が M を N に、N̂ を M̂ に写像することを示す。
• 主な技術的道具は、フーリエ変換によって定義されるユニタリ作用素 U であり、U*(Ĵ⊗J) = Jf および U*∇fU = ∇f⊗∇ を満たし、双対系のモジュラー構造を結びつける。
• 極分解および関数 f の性質を用いて、モジュラー共役作用素とモジュラー作用素の関係 Jf = U*(Ĵ⊗J) および ∇f = Ĥ⊗∇ を導出する。
• N と N̂ における自己同型の1パラメータ群 τt と τ̂t が τt(x) = Ĥ^{it}xĤ^{-it} および τ̂t(y) = ∇^{it}y∇^{-it} を満たすことを確立し、S(a) = Rτ_{-i/2}(λ(a)) を関数 f の形式的変形により示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C*-代数や重みの完全な解析的道具立てを用いずに、局所コンパクトな量子群の構造を完全に代数的設定でどのように研究できるか。
• RQ2 双対な乗算器ホップ ∗-代数のペアにおける左正則表現が生成するフォン・ノイマン代数を関連付けるために、フーリエ変換が果たす役割は何か。
• RQ3 双対系におけるモジュラー共役作用素およびモジュラー作用素が、フーリエ変換を通じて元の系のそれらとどのように関係するか。
• RQ4 定義4.6で定義された関数 f を用いて、双対系におけるモジュラー自己同型およびモジュラー共役作用素の関係を導出できるか。
• RQ5 正の積分を備えた乗算器ホップ ∗-代数に基づく代数的量子群が、一般の局所コンパクトな量子群の本質的特徴をどの程度正確に捉えているか。

主な発見

• フーリエ変換 F は、π(A) が生成するフォン・ノイマン代数 M を、λ(B) が生成するフォン・ノイマン代数 N に写像し、同様に Ĥ̂N を Ĥ̂M に写像する。これにより、表現空間間の双対性が確立される。
• モジュラー共役作用素は Jf = U*(Ĵ⊗J) を満たし、モジュラー作用素は ∇f = Ĥ⊗∇ を満たす。これにより、双対系のモジュラー構造が、元の系のモジュラー作用素のテンソル積に符号化されていることが示される。
• ユニタリ作用素 U はモジュラー作用素 ∇f と可換であり、フーリエ変換とモジュラー理論の整合性が保証される。
• N 上の自己同型の1パラメータ群 τt は τt(x) = Ĥ^{it}xĤ^{-it} で与えられ、N̂ 上の τ̂t に対しても同様である。これにより、双対表現のモジュラー共変性が確認される。
• アンチポード S は、すべての a ∈ A に対して λ(S(a)) = Rτ_{-i/2}(λ(a)) を満たす。ここで R(x) = Ĥx*Ĥ であり、Bに対しても同様である。これは、代数的設定におけるKMS型関係を一般化する。
• 定義4.6で定義された関数 f は、モジュラー関係を導出する上で中心的な役割を果たし、その使用により、クスティルマンズとヴァースの一般理論からの主要な公式が完全に代数的枠組みで回復可能である。