[論文レビュー] Multiplier Hopf and bi-algebras

K. Janssen, Joost Vercruysse|ArXiv.org|Jan 20, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、非単位的でべき等的かつ $k$-射影的代数のモノイダル圏を用いて、乗算器ホップ代数の圏的枠組みを提供する。非退化的でべき等的かつ $k$-射影的な代数が乗算器bialgebraであるための必要十分条件は、その拡張、左加群、右加群の圏がモノイダルであり、$k$-加群の圏との間に厳密モノイダル忘却函手の図式をなすことで与えられ、これにより乗算器ホップ代数の統一的圏的解釈が得られる。この解釈は、畳み込み逆元を用いた反対称写像に由来する。

ABSTRACT

We propose a categorical interpretation of multiplier Hopf algebras, in analogy to usual Hopf algebras and bialgebras. Since the introduction of multiplier Hopf algebras by Van Daele in [A. Van Daele, Multiplier Hopf algebras, {\em Trans. Amer. Math. Soc.}, {\bf 342}(2), (1994) 917--932.] such a categorical interpretation has been missing. We show that a multiplier Hopf algebra can be understood as a coalgebra with antipode in a certain monoidal category of algebras. We show that a (possibly non-unital, idempotent, non-degenerate, $k$-projective) algebra over a commutative ring $k$ is a multiplier bialgebra if and only if the category of its algebra extensions and both the categories of its left and right modules are monoidal and fit, together with the category of $k$-modules, into a diagram of strict monoidal forgetful functors.

研究の動機と目的

• 量子群理論において重要であるにもかかわらず、これまでにその圏的解釈が欠落していた乗算器ホップ代数の圏的解釈を提供すること。
• 非単位的でべき等的かつ $k$-射影的代数のモノイダル圏におけるコモノイドとしての乗算器bialgebraを定義すること。
• 加群および拡張の圏のモノイダル性と、$\mathcal{M}_k$ への厳密モノイダル忘却函手との関係を通じて、乗算器bialgebraの特徴づけを確立すること。
• 古典的ホップ代数の双対性枠組みを、非単位的かつ無限次元の設定に、乗算器構造を用いて拡張すること。
• 既存の文献における定義と整合するように、加群代数および余加群代数構造を乗算器bialgebraへ一般化すること。

提案手法

• 乗算器代数構成を用いて、非退化的でべき等的かつ $k$-射影的 $k$-代数のモノイダル圏 $\mathcal{N}dI_k$ を定義する。
• 乗算器bialgebraを $\mathcal{N}dI_k$ 内のコモノイドとして特徴づけ、単位的bialgebraの概念を一般化する。
• $k$-代数が乗算器bialgebraであるための必要十分条件として、その左/右加群および拡張の圏がモノイダルであること、および $\mathcal{M}_k$ への厳密モノイダル忘却函手が存在することを確立する。
• 畳み込み代数構造を用いて、反対称写像を乗算器設定における畳み込み逆元として解釈する。
• $k$-加群のモノイダル圏内で作用および余作用を内部化することにより、乗算器bialgebra上の加群代数および余加群代数を定義する。
• 文献（例えば Van Daele の研究）における余作用および単位的条件が、乗算器代数内での等式として表現されることを示し、圏的枠組みと整合することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 乗算器ホップ代数を、古典的ホップ代数のそれと同様の圏的解釈で与えるにはどうすればよいか？
• RQ2 非単位的設定において単位的bialgebraを一般化する「乗算器bialgebra」の正しい概念とは何か？
• RQ3 非単位的代数の左加群、右加群、拡張の圏がモノイダルとなり、$\mathcal{M}_k$ への厳密モノイダル忘却函手によって関係づけられるための条件は何か？
• RQ4 乗算器ホップ代数における反対称写像は、どのように乗算器代数設定における畳み込み逆元として生じるか？
• RQ5 既存の定義と整合するように、乗算器bialgebra上の加群代数および余加群代数をどのように定義すればよいか？

主な発見

• 非退化的でべき等的かつ $k$-射影的な代数が乗算器bialgebraであるための必要十分条件は、その左加群、右加群、拡張の圏がモノイダルであり、$\mathcal{M}_k$ との間に厳密モノイダル忘却函手の図式をなすことである。
• 非単位的設定では、左加群圏のモノイダル性と右加群圏のモノイダル性は同値でないことが示され、これは単位的の場合とは顕著な相違点である。
• 乗算器ホップ代数における反対称写像は、自己準同型の乗算器代数における恒等写像の畳み込み逆元として特徴づけられる。
• 余作用 $\widetilde{\rho}: B \to \mathbb{M}(B \otimes A)$ が単位的であるための必要十分条件は、すべての $a \in A$, $b \in B$ に対して $\overline{B \otimes \varepsilon}(\widetilde{\rho}(b)(1 \otimes a)) = \widetilde{\varepsilon}(a)\iota_B(b)$ が成り立つことである。これは Van Daele の元々の定義における条件と一致する。
• 乗算器bialgebra上の加群代数および余加群代数は、$k$-加群のモノイダル圏内に内部化された代数として定義され、作用および余作用が適切な整合性条件を満たす。