[論文レビュー] Multiply twisted products

Yong Wang|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2012

Point processes and geometric inequalities参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、半対称な計量接続を備えた多重ねじれ積多様体を導入し、その曲率およびインデックス形式を計算し、その結果、このような接続を持つ混合リッチ平坦な多重ねじれ積多様体が多重ワーピング積多様体と同値であることを確立している。さらに、一般化されたロバートソン＝ウォーカー時空およびカスナー時空において、アインシュタイン多様体およびスカラー曲率が一定であるアフィン多様体の新しい例を特定し、多重ねじれフィンスラー多様体における幾何的性質を導出している。

ABSTRACT

In this paper, we compute the index form of the multiply twisted products. We study the Killing vector fields on the multiply twisted product manifolds and determine the Killing vector fields in some cases. We compute the curvature of the multiply twisted products with a semi-symmetric metric connection and show that the mixed Ricci-flat multiply twisted products with a semi-symmetric metric connection can be expressed as multiply warped products. We also study the Einstein multiply warped products with a semi-symmetric metric connection and the multiply warped products with a semi-symmetric metric connection with constant scalar curvature, we apply our results to generalized Robertson-Walker spacetimes with a semi-symmetric metric connection and generalized Kasner spacetimes with a semi-symmetric metric connection and find some new examples of Einstein affine manifolds and affine manifolds with constant scalar curvature. We also consider the multiply twisted product Finsler manifolds and we get some interesting properties of these spaces.

研究の動機と目的

• 半対称な計量接続を備えた多重ねじれ積多様体のインデックス形式を計算すること。
• 特にコンパクトな基本多様体の場合に、多重ねじれ積多様体上のキリングベクトル場を特徴付けること。
• 半対称な計量接続の下での多重ねじれ積多様体の曲率テンソルおよびリッチテンソルを決定すること。
• 混合リッチ平坦性またはアインシュタイン構造が生じる条件を特定し、それらをワーピング積構造と関連付けること。
• 結果を多重ねじれフィンスラー多様体へと拡張し、その設定における幾何的性質を導出すること。

提案手法

• クリストッフェル記号およびリーマン曲率成分を用いて、半対称な計量接続による多重ねじれ積多様体の曲率テンソルを導出する。
• 測地線に沿ったエネルギーの2次変動を分析することにより、多重ねじれ積多様体のインデックス形式を計算する。
• キリングベクトル場のための偏微分方程式系を適用し、多重ねじれ多様体上のそれらの構造を特定する。
• 混合リッチ平坦性が半対称な計量接続の下で多重ワーピング積多様体と同値であることを示す条件を用いる。
• 一般化されたロバートソン＝ウォーカー時空およびカスナー時空に結果を適用し、半対称な計量接続を用いて、アインシュタイン多様体およびスカラー曲率が一定であるアフィン多様体の新しい例を構成する。
• 水平および垂直分布の接続 bundle が完全測地的である条件を、$F_{ab}^c$ および $R_{ab}^c$ に関する条件を用いて特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半対称な計量接続を備えた多重ねじれ積多様体が、混合方向においてリッチ平坦となる条件は何か？
• RQ2 混合リッチ平坦な多重ねじれ積多様体は、半対称な計量接続の下で、多重ワーピング積多様体として表現可能か？
• RQ3 非自明なキリングベクトル場が多重ねじれ積多様体上に存在するための必要十分条件は何か？
• RQ4 半対称な計量接続の下で、多重ねじれ積多様体の曲率およびスカラー曲率はどのように振る舞うか？
• RQ5 一般化されたロバートソン＝ウォーカー時空およびカスナー時空に半対称な計量接続を適用することで、どのような新しいアインシュタイン多様体またはスカラー曲率が一定のアフィン多様体が構成可能か？

主な発見

• 半対称な計量接続を備えた混合リッチ平坦な多重ねじれ積多様体は、必然的に多重ワーピング積多様体と同値であり、[FGKU] の結果を一般化している。
• 多重ねじれ積多様体のインデックス形式が明示的に計算され、このような多様体上での変分解析が可能になっている。
• 基本多様体がコンパクトな場合に、多重ねじれ積多様体上の非自明なキリングベクトル場が特定されている。
• 半対称な計量接続を備えた多重ねじれ積多様体の曲率テンソルが、リーマン曲率成分および接続係数を用いて導出されている。
• 一般化されたロバートソン＝ウォーカー時空およびカスナー時空に半対称な計量接続を適用することで、新しいアインシュタインアフィン多様体およびスカラー曲率が一定であるアフィン多様体の例が構成された。
• 水平および垂直バンドルが、特定の曲率および接続条件（$F_{ab}^c = G_{ab}^c$ および $R_{ab}^c = 0$）を満たす場合にかつその場合に限り、完全測地的であることが示された。