[論文レビュー] Multiplying boolean Polynomials with Frobenius Partitions in Additive Fast Fourier Transform

Ming-Syan Chen⋆, Chen-Mou Cheng+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2018

Coding theory and cryptography参考文献 18被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、加法的高速フーリエ変換（FFT）フレームワーク内でのフロベニウス分割を用いて、大次数ブール多項式の乗算のための新しいアルゴリズムを提示する。フロベニウス写像下での高次元要素の活用と、SIMD命令およびメモリアクセスパターンの最適化により、著者らは既存の手法よりも2倍の性能を達成した実装を実現し、実用的ベンチマークで最も高速なソフトウェア実装を達成した。

ABSTRACT

We show a new algorithm and its implementation for multiplying bit-polynomials of large degrees. The algorithm is based on evaluating polynomials at a specific set comprising a natural set for evaluation with additive FFT and a high order element under Frobenius map of $\mathbb{F}_{2}$. With the high order element, we can derive more values of the polynomials under Frobenius map. Besides, we also adapt the additive FFT to efficiently evaluate polynomials at the set with an encoding process. For the implementation, we reorder the computations in the additive FFT for reducing the number of memory writes and hiding the latency for reads. The algebraic operations, including field multiplication, bit-matrix transpose, and bit-matrix multiplication, are implemented with efficient SIMD instructions. As a result, we effect a software of best known efficiency, shown in our experiments.

研究の動機と目的

• 大次数ブール多項式の乗算を、$\mathbb{F}_2[x]$ で高速に実行できるソフトウェア実装を開発すること。
• フロベニウス分割と加法的FFT構造を活用することで、多項式乗算の計算オーバーヘッドを低減すること。
• 分野演算、ビット行列転置、乗算の各処理において、メモリアクセスの最適化とSIMD命令の活用を図ること。
• 実行時間効率を向上させつつ、最適な漸近的計算量を維持すること。

提案手法

• アルゴリズムは、$\mathbb{F}_{2^m}$ における効率的な評価を目的とした、フロベニウス分割 $\Sigma = v_{l+m/2} + V_l$ を用いた加法的FFTを利用する。
• 「Encode」と呼ばれる新規な符号化プロセスにより、$l_m$ 層を行列乗算として実行し、不要な結果を切り詰めることでバブルティ操作の高速化を実現する。
• 加法的FFTの計算順序を見直し、メモリ書き込みを最小限に抑え、メモリ遅延を隠蔽する。
• 分野乗算は PCLMULQDQ 指令セットを用いて高速化され、ビット行列演算は SIMD 指令を活用して最適化される。
• $\mathbb{F}_{2^m}$ の部分体構造を活用して、分野乗算コストを低減する。
• フロベニウス写像を用いて高次元要素を生成し、変換におけるより効率的な評価点の選定を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フロベニウス分割は、ブール多項式乗算のための加法的FFTの効率を向上させるために効果的に利用可能か？
• RQ2 メモリアクセス順序の再配分とSIMD並列処理を用いることで、実用的な加法的FFTの最適化は可能か？
• RQ3 フロベニウス分割と効率的な符号化および分野算術を組み合わせることで、どの程度の性能向上が達成可能か？
• RQ4 実行時間とスケーラビリティの観点から、本手法はクラーマー乗算に基づく手法と比べてどのように差をつけるか？

主な発見

• $\mathbb{F}_{2^{64}}$ での実装は、既存のすべての既知の実装を上回り、クラーマー乗算に基づく手法と比べて2倍の高速化を達成した。
• より大きな多項式次数をサポートする $\mathbb{F}_{2^{128}}$ に比べ、$\mathbb{F}_{2^{64}}$ の方が分野乗算がより効率的であるため、実行速度が速い。
• 実験結果から、加法的FFTベースのアルゴリズムは対数対数プロットにおいてほぼ線形のスケーリングを示したが、乗法的FFTは最適でない群サイズの影響でわずかなずれを示した。
• バブルティコンponentは $O(n)$ ではあるが、実用的には実行時間の主要因であり、性能のボトルネックであることが示された。
• BasisCvt コンponentの実行時間が最も急激に増加し、次に Butterfly、その後 Encode の順に増加傾向を示した。これは理論的計算量のレベルと整合的であった。
• 本実装は、gf2x や bitpolymul2 といった既存の最先端ライブラリよりも顕著に低い実行時間で、実用的に最高の効率を達成した。