[論文レビュー] Multiscale Analysis for Ergodic Schrödinger operators and positivity of Lyapunov exponents

Helge Krueger|ArXiv.org|May 12, 2009

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、初期スケール推定とWegner推定を前提として、エルゴディックなシュレーディンガー作用素に対する正のリヤプノフ指数の証明を目的としたマルチスケール解析フレームワークを構築する。Pastur-Figotin形式主義とポテンシャル関数の非退化性条件を用いて、小さな結合定数における高次元のスケイプシフトや倍加分岐写像によって生成されるポテンシャルに対して、超多項式的に小さい集合を除き、正のリヤプノフ指数を確立する。

ABSTRACT

A variant of multiscale analysis for ergodic Schrödinger operators is developed. This enables us to prove positivity of Lyapunov exponents given initial scale estimates and an initial Wegner estimate. This is then applied to high dimensional skew-shifts at small coupling, where initial conditions are checked using the Pastur--Figotin formalism. Furthermore, it is shown that for potentials generated by the doubling map one has positive Lyapunov exponent except in a superpolynomially small set.

研究の動機と目的

• エルゴディックなシュレーディンガー作用素に特化したマルチスケール解析の変種を開発し、リヤプノフ指数の正の性質を確立すること。
• スラッグとブルガンが提起した、スケイプシフトおよび倍分岐写像ポテンシャルに対するリヤプノフ指数の正の性質に関する未解決問題に取り組むこと。
• 倍分岐写像モデルについて、既知の小結合定数領域からの結果を大結合定数領域へ拡張すること。
• 倍分岐写像によって生成される非退化ポテンシャルに対して、エネルギーの超多項式的に小さい集合を除き、リヤプノフ指数が正であることを証明すること。

提案手法

• 初期スケール推定と初期Wegner推定に依存する、リヤプノフ指数の正の性質を伝搬する新しいマルチスケール解析フレームワークを構築する。
• ポテンシャル関数 f に対する非退化性条件を用い、不等式 μ(|f(ω)−E|≤ε)≤Fε^α により、レベル集合の測度を制御する。
• スケイプシフトモデルの初期条件を検証するために、Pastur-Figotin形式主義を適用する。特に小結合定数の場合に有効。
• 主要な技術的道具は、動的変数に関するスペクトル射影のトレースの微分を制御することであり、シフトの測度保存性を応用する。
• ポテンシャルの摂動がハミルトニアンにランク1の変化を引き起こすことに着目し、スペクトルシフト関数の境界を導出する。
• この手法は、基礎となるエルゴディック変換に依存せず一般に適用可能であり、特に倍分岐写像およびスケイプシフト系に応用可能。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 洗練されたマルチスケール解析フレームワークを用いて、エルゴディックなシュレーディンガー作用素に対するリヤプノフ指数の正の性質を確立できるか？
• RQ2 小結合定数のスケイプシフトモデルは、スラッグとブルガンの予想に従い、すべてのエネルギーに対して正のリヤプノフ指数を示すか？
• RQ3 倍分岐写像ポテンシャルに対して、大結合定数領域においても、リヤプノフ指数が超多項式的に小さい測度の集合を除き正であるか？
• RQ4 倍分岐写像モデルについて、小結合定数領域を超えて、正のリヤプノフ指数が成立する結合定数の範囲を拡張できるか？
• RQ5 ポテンシャル関数にどのような条件を課すと、初期スケール推定とWegner推定が満たされ、マルチスケール議論が可能になるか？

主な発見

• 非退化関数 f を持つ倍分岐写像ポテンシャルに対して、λ₀(f) > 0 および κ(f) > 0 が存在し、λ > λ₀ のとき、E ∉ E_b に対してリヤプノフ指数 Lλ(E) は正であり、E_b の測度は exp(−λ^{α/2}) 以下である。
• 小結合定数におけるスケイプシフトモデルについて、本稿では [−2+δ, −δ] ∪ [δ, 2−δ] 内のすべてのエネルギー E に対してリヤプノフ指数が正であることを証明し、従来の結果を拡張する。
• 本手法により、正のリヤプノフ指数が成立する結合定数の範囲を拡張でき、特に倍分岐写像モデルの高結合定数領域にも適用可能である。
• 初期スケール推定とWegner推定を満たす条件下で、一般のマルチスケールフレームワークを構築し、広範なクラスのエルゴディックポテンシャルに対してリヤプノフ指数の正の性質を証明する。
• 倍分岐写像によって生成されるポテンシャルに対して、ゼロのリヤプノフ指数を示すエネルギー集合の測度は、exp(−λ^{α/2}) 以下であり、これは超多項式的に小さい例外集合を示している。
• 解析により、スケイプシフトモデルがマルチスケール解析に必要な初期条件をPastur-Figotin形式主義により満たしていることが確認され、リヤプノフ指数の正の性質の証明が可能となった。