[論文レビュー] Multiscale BDDC for a saddle-point problem

Bedřich Sousedík|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2011

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、流速と圧力を再帰的ネスト構造を用いて再利用するコンponentを活用することで、多スケールBDDC法を鞍点問題に提案する。粗いスolvesを再帰的に適用し、多スケールBDDCプリコンディショナを用いることで、計算コストを著しく低減するとともに、問題サイズに依存しない条件数の上限を維持する。これにより、過酷な粗化によってレベル数を最小限に抑え、大規模問題の効率的解法が可能になる。

ABSTRACT

We propose a Nested BDDC for a class of saddle-point problems. The method solves for both flux and pressure variables. The fluxes are resolved in three-steps: the coarse solve is followed by subdomain solves, and last we look for a divergence-free flux correction and pressure variables using conjugate gradients with a Multilevel BDDC preconditioner. Because the coarse solve in the first step has the same structure as the original problem, we can use this procedure recursively and solve (a hierarchy of) coarse problems only approximately, utilizing the coarse problems known from the BDDC. The resulting algorithm thus first performs several upscaling steps, and then solves a hierarchy of problems that have the same structure but increase in size while sweeping down the levels, using the same components in the first and in the third step on each level, and also reusing the components from the higher levels. Because the coarsening can be quite aggressive, the number of levels can be kept small and the additional computational cost is significantly reduced due to the reuse of the components. We also provide the condition number bound and numerical experiments confirming the theory.

研究の動機と目的

• 混合有限要素法に由来する鞍点問題に対するスケーラブルな反復解法の開発を目的とする。
• 多スケール階層の複数レベル間でコンponentを再利用することにより、大規模な鞍点系の計算コストを低減することを目的とする。
• 問題サイズに依存しない条件数の上限を維持することで、収束特性のロバスト性を確保することを目的とする。
• 再帰的・ネスト型BDDCフレームワークを用いて、流速および圧力変数の効率的解法を可能とすることを目的とする。

提案手法

• 本手法は、粗いスolves、サブドメインスolves、および共役乗法による発散なし流速補正の3段階からなる流速と圧力の解法プロセスを採用する。
• 粗いスolvesは元の問題と同一構造を持つため、粗くされた問題に対しても再帰的に適用可能である。
• 共役乗法段階では多スケールBDDCプリコンディショナを用いて収束を加速する。
• 上位レベルのコンponentを下位レベルのスolvesで再利用することで、冗長な計算を最小限に抑える。
• 過酷な粗化によりレベル数を減少させ、階層を粗いレベルから細かいレベルへ逆順に解く。
• 各レベルで同一のアルゴリズム的構造を維持することで、一貫性と再利用可能性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 混合変数タイプを有する鞍点問題に、ネスト型BDDCアプローチを効果的に適用可能か？
• RQ2 再帰的粗いスolvesを用いることで、計算コストを低減しつつ収束性を維持できるか？
• RQ3 提案された多スケールBDDC法の条件数の挙動はいかなるものか？
• RQ4 コンponentをレベル間でどれほど再利用できるかが、効率性にどの程度寄与するか？
• RQ5 過酷な粗化はレベル数および全体的なパフォーマンスにどのような影響を与えるか？

主な発見

• 問題サイズに依存しない条件数の上限を達成しており、収束のロバスト性が保証される。
• 過酷な粗化によりレベル数が小さく抑えられ、全体的な計算コストが著しく低減される。
• レベル間でのコンponent再利用により、冗長なセットアップを回避し、顕著な効率性向上が達成される。
• 数値実験により理論的条件数の上限が確認され、最適な収束挙動が示された。
• 粗いスolvesの再帰的適用により、各レベルで同一の問題構造が維持され、一貫性がありスケーラブルな解法が可能となる。