[論文レビュー] Multiscale Convergence of the Inverse Problem for Chemotaxis in the Bayesian Setting

Kathrin Hellmuth|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2021

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 34被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Knudsen数が0に近づく極限における、運動的キネティック方程式と Keller-Segel モデルのベイズ的逆問題の漸近的同値性を確立する。多スケール漸近解析を用いて、Knudsen数が0に近づく際、キネティックモデルにおける転倒核の事後分布と Keller-Segel モデルにおけるキネティック係数の事後分布が、Kullback-Leibler 収束および Hellinger 収束の両方で収束することを証明し、逆問題においてメゾスコピックモデルの計算的に効率的な代替手段としてマクロスコピックモデルを使用することが正当化される。

ABSTRACT

Chemotaxis describes the movement of an organism, such as single or multi-cellular organisms and bacteria, in response to a chemical stimulus. Two widely used models to describe the phenomenon are the celebrated Keller–Segel equation and a chemotaxis kinetic equation. These two equations describe the organism’s movement at the macro- and mesoscopic level, respectively, and are asymptotically equivalent in the parabolic regime. The way in which the organism responds to a chemical stimulus is embedded in the diffusion/advection coefficients of the Keller–Segel equation or the turning kernel of the chemotaxis kinetic equation. Experiments are conducted to measure the time dynamics of the organisms’ population level movement when reacting to certain stimulation. From this, one infers the chemotaxis response, which constitutes an inverse problem. In this paper, we discuss the relation between both the macro- and mesoscopic inverse problems, each of which is associated with two different forward models. The discussion is presented in the Bayesian framework, where the posterior distribution of the turning kernel of the organism population is sought. We prove the asymptotic equivalence of the two posterior distributions.

研究の動機と目的

• 走化性モデリングのミクロスコピック（キネティック）およびマクロスコピック（Keller-Segel）レベルで定式化された逆問題の間の厳密な接続を確立すること。
• キネティックモデルと Keller-Segel モデルという、異なる前向きモデルから得られる事後分布が、放物型スケーリング極限において漸近的に同値であるかどうかを調査すること。
• キネティックモデルがシミュレーションにコストがかかるため、計算的に安価な Keller-Segel モデルを逆問題において代替手段として使用する理論的根拠を提供すること。
• ガウスノイズと適切な事前分布を想定したベイズ枠組みにおいて、事後分布の適切な定義および収束を保証すること。
• 情報理論的距離（Kullback-Leibler 及び Hellinger）を用いて、2つの事後測度の収束を定量化すること。

提案手法

• 事後分布の収束を示すために、転倒核（キネティックモデル）と走化性係数（Keller-Segel モデル）を、事前分布を持つ確率変数として扱うベイズ枠組みで逆問題を定式化する。
• 多スケール漸近解析を用いて、Knudsen数が小さい極限（放物型極限）において、キネティック方程式が Keller-Segel 方程式に収束することを示す。
• Chalub ら（2004）の放物型スケーリングを用いて、キネティックモデルのマクロスコピック極限を導出し、前向きモデル間の整合性を保証する。
• 測定されたマクロスコピック密度に加法的ガウスノイズを仮定し、尤度関数を定義する。
• Kullback-Leibler 収束を用いて、2つの事後分布間の距離を計算し、Knudsen数が0に近づく際にその値が消えることを証明する。
• Kullback-Leibler 収束による Hellinger 距離の既知の上界を用いて、Hellinger 距離における収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Knudsen数が0に近づく際、キネティックモデルと Keller-Segel モデルにおける走化性反応パラメータの事後分布は漸近的に同値であるか？
• RQ2 計算的に安価な Keller-Segel モデルを、計算コストの高いキネティックモデルの逆問題において代替手段として使用できるか？
• RQ3 2つのモデルからの事後分布の収束速度は何か？ そして、その速度はどのように定量化できるか？
• RQ4 事前分布および測定ノイズにどのような条件下で、両モデルにおける事後分布が適切に定義され収束するか？
• RQ5 Kullback-Leibler 及び Hellinger 距離が、流体力学的極限において2つの事後分布の間でどのように振る舞うか？

主な発見

• Knudsen数 ε → 0 の極限において、キネティック走化性モデルと Keller-Segel モデルから得られる事後分布は、Kullback-Leibler 収束において収束する。
• 適切な事前分布および測定関数の仮定のもと、転倒核 (K₀, K₁) のパrameter空間全体にわたって一様収束する。
• Hellinger 距離についても極限において消えることが確認され、より強い距離計測においても漸近的同値性が裏付けられる。
• 前向きモデルは放物型領域において漸近的に同値であり、適切なスケーリングのもとでキネティック方程式が Keller-Segel 方程式に収束する。
• 2つのモデルの尤度は、パrameter空間のコンパクト集合上で一様に収束し、事後分布の収束を保証する。
• 理論的結果は、より高価なキネティックモデルの反復的逆問題ソルバーにおける初期推定値として、マクロスコピックな Keller-Segel モデルを高速かつ信頼性の高い初期推定値として使用することを支持する。