[論文レビュー] Multiscale Empirical Interpolation for Solving Nonlinear PDEs using Generalized Multiscale Finite Element Methods

Victor M. Calo, Yalchin Efendiev+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2014

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、一般化されたマルチスケール有限要素法（GMsFEM）とプロパー直交分解（POD）に基づく経験的補間を組み合わせることで、非線形マルチスケールPDEを効率的に解くためのマルチスケール経験的補間法（multiscale DEIM）を提案する。非線形関数評価を粗いグリッド領域に分割し、局所的なマルチスケール基底関数を用いた低次元表現を用いることで、計算コストを粗いグリッドの自由度に比例させる。これにより、シミュレーション時間の最大96％の短縮が達成され、高い精度を維持する。

ABSTRACT

In this paper, we propose a multiscale empirical interpolation method for solving nonlinear multiscale partial differential equations. The proposed method combines empirical interpolation techniques and local multiscale methods, such as the Generalized Multiscale Finite Element Method (GMsFEM). To solve nonlinear equations, the GMsFEM is used to represent the solution on a coarse grid with multiscale basis functions computed offline. Computing the GMsFEM solution involves calculating the residuals on the fine grid. We use empirical interpolation concepts to evaluate the residuals and the Jacobians of the multiscale system with a computational cost which is proportional to the coarse scale problem rather than the fully-resolved fine scale one. Empirical interpolation methods use basis functions and an inexpensive inversion which are computed in the offline stage for finding the coefficients in the expansion based on a limited number of nonlinear function evaluations. The proposed multiscale empirical interpolation techniques: (1) divide computing the nonlinear function into coarse regions; (2) evaluate contributions of nonlinear functions in each coarse region taking advantage of a reduced-order representation of the solution; and (3) introduce multiscale proper-orthogonal-decomposition techniques to find appropriate interpolation vectors. We demonstrate the effectiveness of the proposed methods on several examples of nonlinear multiscale PDEs that are solved with Newton's methods and fully-implicit time marching schemes. Our numerical results show that the proposed methods provide a robust framework for solving nonlinear multiscale PDEs on a coarse grid with bounded error.

研究の動機と目的

• 高対比媒体と複数スケールを有する非線形マルチスケールPDEを解く際の高い計算コストに対処すること。
• GMsFEMに基づくシミュレーションにおけるニュートン反復における非線形残差およびヤコビ行列の評価コストを低減すること。
• 正確性を維持しながら細かいグリッド計算を最小限に抑える、強固な粗いグリッドフレームワークを開発すること。
• 局所的なスペクトル問題と重み付きPODを用いて、経験的補間とマルチスケール基底関数を統合すること。
• 本手法のロバスト性が、非線形性や透水率場の配置が異なる状況においても保たれることを示すこと。

提案手法

• 本手法は、スナップショット空間と局所的スペクトル問題を用いて、粗いグリッド上で局所的なマルチスケール基底関数を構築するGMsFEMを用いる。
• 非線形関数評価は粗いグリッド領域に分割され、各領域は局所的な低次元表現を用いて独立に処理される。
• 経験的補間は、解スナップショットのプロパー直交分解（POD）から得られる基底関数を用いて、各粗いグリッド領域に対して適用される。
• マルチスケール基底関数を組み込んだ修正されたスペクトル問題を用いて、高対比問題において収束を保証する補間ベクトルが計算される。
• 離散的経験的補間法（DEIM）はマルチスケール設定に拡張され（マルチスケールDEIM）、細かいグリッドのアセンブリを最小限に抑えて非線形項をオンラインで評価可能となる。
• 標準的なl2内積に基づくPODが収束が遅くなる場合に特に有効な、重み付きPOD技術が採用され、収束性と精度が向上する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 経験的補間は、GMsFEMにおける非線形残差およびヤコビ行列評価のコストを低減するために、マルチスケール設定に効果的に適応可能か？
• RQ2 マルチスケール基底関数を活用して、粗いグリッド領域における非線形関数の局所的低次元表現を構築する方法は何か？
• RQ3 高対比マルチスケール問題において、経験的補間ベクトルの収束を保証するために必要なスぺクトル問題の修正は何か？
• RQ4 各粗いグリッド領域におけるDEIM点の数は、解の精度と効率にどのように影響するか？
• RQ5 非線形パrameter μ がDEIM点を計算する際に使用されたトレーニング範囲外に位置する場合、本手法は依然としてロバストであるか？

主な発見

• マルチスケールDEIM手法により、シミュレーション時間は完全な細かいグリッドモデルの約4％にまで短縮され、顕著な計算コスト削減が達成された。
• 1領域あたり3つのDEIM点を用いた場合、2種類の透水率場構成に対して相対エネルギー誤差はそれぞれ4.96×10⁻²および1.05×10⁻²であった。
• トレーニングセットに含まれないμ = 8.5に対しても、誤差は低く維持され、非線形パrameterの変動に対するロバスト性が示された。
• DEIMベクトルの構築に重み付きPODを用いることで、標準的なl2内積に基づくPODに比べて収束性が向上した。
• DEIM点の数を増加させると誤差は単調に減少し、本手法の信頼性とスケーラビリティが確認された。
• 誤差が有界なまま粗いグリッド上で高精度な解が得られたことから、非線形マルチスケールPDEへの応用が妥当であることが検証された。