[論文レビュー] Multiscale finite elements through advection-induced coordinates for transient advection-diffusion equations

Konrad Simon, Jörn Behrens|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、一時的移流拡散方程式におけるアップスケーリングを改善するため、移流に起因する座標を用いた新規のマルチスケール有限要素法を提案する。特に、粗いグリッドを用いた気候シミュレーションにおいて有効である。移流効果を軽減するため、粗い要素の境界付近で座標変換を施すことで、振動的かつ周期的な速度と拡散係数を有する一次元問題において、最適な収束率とロバスト性を達成し、高い精度を実現した。

ABSTRACT

Long simulation times in climate sciences typically require coarse grids due to computational constraints. Nonetheless, unresolved subscale information significantly influences the prognostic variables and can not be neglected for reliable long term simulations. This is typically done via parametrizations but their coupling to the coarse grid variables often involves simple heuristics. We explore a novel up-scaling approach inspired by multi-scale finite element methods. These methods are well established in porous media applications, where mostly stationary or quasi stationary situations prevail. In advection-dominated problems arising in climate simulations the approach needs to be adjusted. We do so by performing coordinate transforms that make the effect of transport milder in the vicinity of coarse element boundaries. The idea of our method is quite general and we demonstrate it as a proof-of-concept on a one-dimensional passive advection-diffusion equation with oscillatory background velocity and diffusion.

研究の動機と目的

• 長期間にわたる気候シミュレーションにおいて、粗いグリッドを用いた場合の解像度の不足したサブグリッドスケールプロセスに対処すること。
• ヒューリスティックなパrametrizationを回避する数学的に整合性のあるアップスケーリングフレームワークの構築すること。
• 気候モデリングに一般的に見られる移流優勢型問題に、マルチスケール有限要素法（MsFEM）を適応させること。
• 移流に起因する歪みを低減するための座標変換を施すことで、一時的移流拡散方程式における安定性と精度を向上させること。
• 周期的背景速度および拡散係数を有する一次元問題において、本手法の有効性を示すこと。

提案手法

• 移流の特性に基づく座標変換を導入し、粗い要素の境界付近での輸送効果をなめらかにすること。
• 細粒度の挙動を反映しつつも安定性を保持する、変換された座標系におけるマルチスケール基底関数を構築すること。
• 移流に起因する座標系において局所問題を解くことで得られる非多項式基底関数を用いたガラーキン式の定式化を採用すること。
• 周期的かつ振動的係数を有する一次元の一時的移流拡散方程式に本手法を適用すること。
• 座標変換により基底関数を主な流れ方向に合わせることで、質量保存と安定性を確保すること。
• グリッド解像度と拡散周波数を変化させた数値実験を通じて、収束性と精度を評価すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 移流の特性に基づく座標変換は、移流優勢型の一時的問題におけるマルチスケール有限要素法の安定性と精度を向上させ得るか？
• RQ2 拡散係数が粗いグリッドに対して急速に振動する場合、本手法は標準的な有限要素法と比較してどのように性能を示すか？
• RQ3 背景速度に顕著な平均値がなく、時間的に不変のゼロ点を含む場合、本手法の限界は何か？
• RQ4 本手法は、多次元または保存形式の移流拡散方程式へ一般化可能か？
• RQ5 拡散係数の振動周波数を変化させながらグリッドを細分化した場合、本手法の収束挙動はいかなるものか？

主な発見

• L²およびL∞ノルムにおいて最適な収束率を達成し、グリッド解像度を2倍にした際、相対誤差が1桁減少した。
• k=10の場合、N=24でL²誤差が2.732×10⁻⁴からN=384で3.939×10⁻⁷に低下し、2次収束が確認された。
• 高周波数の拡散振動に対しても良好に機能し、スケール分離下でのロバスト性を示した。
• 背景速度に時間的に不変のゼロ点がある場合、特徴線の収束が生じ、安定性の問題が発生した。
• 保存形式の式では、フラックス項を移流的および反応的成分に分解する必要があり、それらに異なるアップスケーリング手法を要するため、本手法は失敗した。
• 限界は存在するが、本手法は関連するシナリオにおいて強力な性能を示し、半ラグランジュ法などのハイブリッド手法を用いた将来的な拡張の基盤を提供する。