[論文レビュー] Multiscale homogenization of convex functionals with discontinuous integrand

Marco Barchiesi|ArXiv.org|Jun 20, 2005

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 20被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、弱い正則性仮定の下で、不連続な被積分関数をもつ多スケール凸汎関数の $γ$-極限を、多スケールヤング測度を用いて確立する。$γ$-収束が許容可能な被積分関数（コンパクト集合上で連続で、補集合が小さい関数）に対して成り立つことを証明し、複雑なマイクロ構造をもつ複合材料の均質化を可能にする。

ABSTRACT

This article is devoted to obtain the $Γ$-limit, as $ε$ tends to zero, of the family of functionals $$F_ε(u)=\int_Ωf\Bigl(x,\frac{x}ε,..., \frac{x}{ε^n}, abla u(x)\Bigr)dx$$, where $f=f(x,y^1,...,y^n,z)$ is periodic in $y^1,...,y^n$, convex in $z$ and satisfies a very weak regularity assumption with respect to $x,y^1,...,y^n$. We approach the problem using the multiscale Young measures.

研究の動機と目的

• スケールパラメータ $\varepsilon \to 0$ のとき、不連続な被積分関数をもつ多スケール凸汎関数の $γ$-極限を特定すること。
• 被積分関数 $f$ の正則性仮定を連続性を越えて弱める。特に、材料界面における不連続性を許容すること。
• 複数スケールおよび滑らでないマイクロ構造をもつ複合材料のための均質化フレームワークを確立すること。
• 「許容可能な被積分関数」という概念を導入し、$γ$-収束を保証する最小限の正則性条件とすること。
• 繰り返し均質化の公式を、不連続または弱く正則な被積分関数のケースにまで拡張すること。

提案手法

• 複数スケール $y^1, \ldots, y^n$ における振動を捉えるために多スケールヤング測度を用いる。
• 凸性および $p$-有界性の下で、$γ$-収束理論を適用して均質化された汎関数を導出する。
• 「許容可能な被積分関数」として、$x$ および $y$ 変数においてコンパクト集合上で連続で、補集合が小さい関数を導入する。
• スケール間の繰り返し均質化手続きを正当化するために、交換性の議論を用いる。
• 均質化された汎関数 $f_{\text{hom}}$ が、連続的なスケールごとの下界の畳み込みとして与えられることを確立する。
• 収束を保証するために、ヤング測度の下界半連続性およびコンパクト性の性質に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 被積分関数 $f$ が至る所で連続ではない場合、最小限の正則性仮定の下で、不連続な被積分関数をもつ多スケール凸汎関数の $γ$-収束を確立できるか？
• RQ2 被積分関数 $f$ が至る所で連続でない場合、$γ$-収束が成り立つ正確な被積分関数のクラスは何か？
• RQ3 繰り返し均質化の公式は、滑らでないまたは不連続な被積分関数にまでどのように拡張できるか？
• RQ4 弱い正則性の下で、均質化された汎関数が複数スケールにおける下界畳み込みとして表現可能か？
• RQ5 被積分関数 $f$ がボレル可測であるが、それ以外は一般に不連続な場合、「許容可能な被積分関数」条件が収束を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 被積分関数が許容可能であるという条件下で、$\varepsilon \to 0$ のとき、汎関数 $F_\varepsilon(u) = \int_\Omega f(x, \frac{x}{\varepsilon}, \ldots, \frac{x}{\varepsilon^n}, \nabla u(x)) \, dx$ の $γ$-極限が存在する。
• 均質化された汎関数 $f_{\text{hom}}(x,z)$ は、$n$ スケールにわたる繰り返し下界畳み込みとして与えられ、凸性および $p$-有界性を保つ。
• 許容可能な被積分関数条件は鋭い：この条件が満たされない場合、反例により $γ$-収束が失敗することが示される（ボレル可測だが不連続な被積分関数を用いた反例）。
• 均質化された汎関数は $f_{\text{hom}} \leq f_{\text{hom}}^{[1]}$ を満たし、提案されたフレームワークの下では等号が成り立つ。
• 被積分関数 $f$ が $x$ や $y^k$ で不連続であっても、コンパクト集合上で連続で補集合が小さい場合、繰り返し均質化の公式は依然として有効である。
• 本手法は、単一スケールおよび多スケールの複合材料に適用可能であり、特性関数型の不連続性をもつ二相混合材料に対しても適用可能である。