[論文レビュー] Multiscale model reduction method for Bayesian inverse problems of subsurface flow

Lijian Jiang, Na Ou|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、一般化された多スケール有限要素法（GMsFEM）と最小二乗確率的コロケーション法（LS-SCM）を組み合わせたマルチスケールモデル低減フレームワークを提案し、地下流体におけるベイズ逆問題の高速化を図る。事前に低次元の前方モデルを構築し、切断されたカラフネン＝ロエーフェンスチッシュ展開（KLE）を用いた次元削減により、効率的なマルコフ連鎖モンテカルロ（MCMC）サンプリングが可能となり、流れの再構築における相対L₂誤差は5.68%にまで低下し、事後分布の収束も速やかであった。

ABSTRACT

This work presents a model reduction approach to the inverse problem in the application of subsurface flows. For the Bayesian inverse problem, the forward model needs to be repeatedly computed for a large number of samples to get a stationary chain. This requires large computational efforts. To significantly improve the computation efficiency, we use generalized multiscale finite element method and least-squares stochastic collocation method to construct a reduced computational model. To avoid the difficulty of choosing regularization parameter, hyperparameters are introduced to build a hierarchical model. We use truncated Karhunen-Loeve expansion (KLE) to reduce the dimension of the parameter spaces and decrease the mixed time of Markov chains. The techniques of hyperparameter and KLE are incorporated into the model reduction method. The reduced model is constructed offline. Then it is computed very efficiently in the online sampling stage. This strategy can significantly accelerate the evaluation of the Markov chain and the resultant posterior distribution converges fast. We analyze the convergence for the approximation between the posterior distribution by the reduced model and the reference posterior distribution by the full-order model. A few numerical examples in subsurface flows are carried out to demonstrate the performance of the presented model reduction method with application of the Bayesian inverse problem.

研究の動機と目的

• 地下流体におけるベイズ逆問題の計算コストの高さを緩和するため、前方モデルの繰り返し評価に起因する問題に対処すること。
• 境界条件や源の位置といった不確実な入力から生じる高次元パラメータ空間の次元削減を実現すること。
• MCMCサンプリングに使用可能な効率的かつ高精度な低次元モデルを構築すること。
• 正則化パrameterの選定を避けるために、ハイパーパrameterを有する階層ベイズモデルを採用すること。
• 低次元モデルの有効性を、最小限の計算オーバーヘッドで、参照事後分布を正確に近似できるかを実証すること。

提案手法

• 一般化された多スケール有限要素法（GMsFEM）を用いて、粗いグリッド上に細粒度の不均一性を捉える多スケール基底関数を構築し、前方モデルの効率的解法を実現する。
• 最小二乗確率的コロケーション法（LS-SCM）を用いて、事前分布のサポート上での前方写像のスレーブモデルを構築し、オンライン評価コストを低減する。
• 切断されたカラフネン＝ロエーフェンスチッシュ展開（KLE）を用いて、ランダムな流れ場をたった74個の主要成分で表現し、パラメータ次元を220から74に削減する。
• 正則化パrameterの手動選定を回避するため、ハイパーパrameterを有する階層ベイズモデルを採用する。
• GMsFEMとLS-SCMを用いて事前に低次元モデルを構築し、その後オンラインMCMCサンプリング段階で効率的に利用する。
• マルコフ連鎖モンテカルロ（MCMC）アルゴリズムでは、ハイパーパrameterおよび潜在変数の適応的更新を伴うランダムウォークメトロポリス・ハスティングススキームを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GMsFEMとLS-SCMに基づく低次元モデルは、地下流体におけるベイズ逆問題において、完全な前方モデルを高精度に近似できるか？
• RQ2 切断KLEとモデル低減の組み合わせは、高次元逆問題におけるMCMCサンプリングの高速化にどの程度効果的か？
• RQ3 提案手法は、完全な前方モデルからの参照事後分布をよく近似する事後分布を達成できるか？
• RQ4 階層ベイズフレームワークにより、逆問題における手動による正則化パrameterチューニングの必要性を排除できるか？
• RQ5 ノイズのある観測値のもとで、低次元モデルは、境界流れと源の位置を同時に回復できるか？

主な発見

• 低次元モデルを用いた流れ場再構築における相対L₂誤差は約5.68%であり、真の流れ場を高精度に回復できることを示している。
• 低次元モデルを用いて計算された事後分布は、収束が早く、完全な前方モデルからの参照事後分布とよく一致していた。
• 切断KLEの使用により、パラメータ次元を220から74に削減し、マルコフ連鎖の混合時間の短縮によりMCMCサンプリングが著しく高速化された。
• 事後密度のサポートは事前分布よりも狭く、観測データが推定パラメータの不確実性を効果的に低減していることが示された。
• 本手法は、疎でノイズの多い観測値のもとでも、境界流れと源の位置を同時に正確に回復できた。
• 数学的解析により、ベイズ逆問題の文脈において、低次元モデルの近似が完全な前方モデルに収束することが確認された。