[論文レビュー] Multiscale Modeling, Homogenization and Nonlocal Effects: Mathematical and Computational Issues

Qiang Du, Björn Engquist+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2019

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 42被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、均質化と非局所モデル化の間の形式的で数学的・計算的な関係を確立し、非局所的相互作用が多スケール問題の極限として自然に出現することを示している。非局所的相互作用が多スケール問題の極限として自然に出現することを示している。非局所モデルの構造を均質化から得る方法や、非局所性が、特に漸近的適合性と計算複雑性の低減を通じて、均質化の数値的手法を強化する方法を示している。

ABSTRACT

In this work, we review the connection between the subjects of homogenization and nonlocal modeling and discuss the relevant computational issues. By further exploring this connection, we hope to promote the cross fertilization of ideas from the different research fronts. We illustrate how homogenization may help characterizing the nature and the form of nonlocal interactions hypothesized in nonlocal models. We also offer some perspective on how studies of nonlocality may help the development of more effective numerical methods for homogenization.

研究の動機と目的

• 均質化と非局所モデル化の間の関係を形式化し、これらの研究分野の相互浸透を促進すること。
• 高振動係数を有する多スケールPDEの極限として非局所的相互作用がどのように出現するかを調査すること。
• スケール分離が成立しない状況においても、非局所モデル化が数値的均質化スキームを改善できるかを検討すること。
• 事前計算、低次元基底、および適応的ホライズンサイズの選定を用いて、非局所的および多スケールシミュレーションの計算複雑性を低減すること。
• 複数スケールにわたって精度を維持する漸近的適合性を有する離散化手法の開発

提案手法

• 振動係数を有する局所的多スケールPDEから、有効な非局所波方程式を均質化理論を用いて導出する。
• シュール補完やモーリ＝ツワンツィグ形式を含むモデル還元技術を用い、局所系から非局所作用素を生成する。
• 多スケール有限要素法（MsFEM）および異種多スケール法（HMM）を用いて、均質化された解の数値的近似を行う。
• 微細スケールパラメータε → 0 の局所問題の極限を分析し、システムに応じて非局所的または局所的な有効モデルに収束することを示す。
• 非局所作用素を近似するための数値的ホライズンδ > εを導入し、分数ラプラシアンの効率的計算を可能にする。
• 事前計算と低次元基底技術を活用し、均質化および非局所モデル化の両方における計算コストを低減する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高振動係数を有する多スケール局所PDEの極限として、非局所的相互作用はどのように出現するか？
• RQ2 均質化極限において、非局所モデルは局所モデルよりもより一般的な有効モデルとして機能できるか？
• RQ3 非局所性は、漸近的適合性を達成するための数値的均質化のための基底関数の設計にどのように寄与できるか？
• RQ4 ホライズンサイズδが非局所作用素の近似に果たす役割は何か？計算効率を最適化するにはどのように設定すべきか？
• RQ5 事前計算や低次元基底といった数値的均質化の技術は、非局所モデル化における複雑性低減に応用可能か？

主な発見

• 非局所モデルは、高対比または多スケール係数を有する局所的PDEの均質化極限として出現しうり、非局所性が自然な有効記述であることを示唆している。
• 微細スケールパラメータε → 0 の局所問題の極限は、特に高対比不均質性の状況では非局所的有効方程式に収束することがある。
• ε → 0 および δ → 0 の極限においても精度を維持する数値スキームを設計することで、漸近的適合性を達成でき、誤差のスケーリングを O(ε/δ) から γ > 1 の場合の O((ε/δ)^γ) に改善できる。
• MsFEMにおける多スケール基底関数の事前計算およびHMMにおける一般化されたセル問題の事前計算により、数値的均質化における計算コストが顕著に低減される。
• 結合された局所的・非局所的モデルにおける適応的ホライズンサイズの選定および空間的に変化する局所化技術を用いることで、計算複雑性を低減しつつ精度を維持できる。
• 高速多重極法および低次元基底技術の活用により、非局所ソルバーで一般的に見られる O(N²) の複雑性を低減する道筋が得られる。