[論文レビュー] Multishifts on Directed Cartesian Product of Rooted Directed Trees

Sameer Chavan, Deepak Kumar Pradhan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2016

Holomorphic and Operator Theory参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、局所的に有限な根付き有向木の直積上の球対称な多シフト作用素のクラスを導入し、合同等長作用素を一般化し、古典的 $d$-シフト（Szegö、Bergman、Drury-Arveson）の木理論的類似を提供する。これらの多シフトと、$E$-値正則関数の再生核ヒルベルト空間上の乗法作用素族とのユニタリ同値性を確立し、その核は随伴シフト積の逆数の累乗を用いて明示的に構成される。これにより、非可換な木シフトへの解析的モデル理論が拡張される。

ABSTRACT

We systematically develop the multivariable counterpart of the theory of weighted shifts on rooted directed trees. Capitalizing on the theory of product of directed graphs, we introduce and study the notion of multishifts on directed Cartesian product of rooted directed trees. This framework unifies the theory of weighted shifts on rooted directed trees and that of classical unilateral multishifts. Moreover, this setup brings into picture some new phenomena such as the appearance of system of linear equations in the eigenvalue problem for the adjoint of a multishift. In the first half of the paper, we focus our attention mostly on the multivariable spectral theory and function theory including finer analysis of various joint spectra and wandering subspace property for multishifts. In the second half, we separate out two special classes of multishifts, which we refer to as torally balanced and spherically balanced multishifts. The classification of these two classes is closely related to toral and spherical polar decompositions of multishifts. Furthermore, we exhibit a family of spherically balanced multishifts on $d$-fold directed Cartesian product $\mathscr T$ of rooted directed trees. These multishifts turn out be multiplication $d$-tuples $\mathscr M_{z, a}$ on certain reproducing kernel Hilbert spaces $\mathscr H_a$ of vector-valued holomorphic functions defined on the unit ball $\mathbb B^d$ in $\mathbb C^d$, which can be thought of as tree analogs of the multiplication $d$-tuples acting on the reproducing kernel Hilbert spaces associated with the kernels $\frac{1}{(1-\langle{z},{{w} angle})^a}~(z, w \in \mathbb B^d, a \in \mathbb N).$

研究の動機と目的

• 局所的に有限な根付き有向木の直積上に、球対称な多シフト作用素の新規クラスを構成すること。
• 合同等長作用素および既知の $d$-シフト（Szegö、Bergman、Drury-Arveson）を木理論的枠組みで一般化すること。
• このような多シフトと、$E$-値正則関数の再生核ヒルベルト空間上の乗法作用素族とのユニタリ同値性を確立すること。
• 随伴作用素族の共同核 $E$ が有限次元である場合に、これらの多シフトの解析的モデルを提供すること。

提案手法

• パrameter $a$ から導かれる列 $\{c_{a,t}\}$、深さ $|\alpha_v|$、親子関係に基づく重み $\lambda_w^{(i)}$ を用いて、多シフト $S_{\boldsymbol{\lambda}_{\mathfrak{C}_a}}$ を定義する。
• 木構造の対称性を用いて、$i \neq j$ のとき積 $\lambda_u^{(i)}\lambda_{\text{par}_i(u)}^{(j)}$ と $\lambda_u^{(j)}\lambda_{\text{par}_j(u)}^{(i)}$ が等しいことを確認し、多シフトが可換であることを証明する。
• 和 $\sum_{j=1}^d \|S_j e_v\|^2 = c_{|\alpha_v|}$ を示し、$\mathfrak{C}(v) = c_{|\alpha_v|}$ により球対称性が成立することを証明する。
• 一意的な分解 $l^2(V) = \bigoplus_{\alpha \in \mathbb{N}^d} S^{\alpha}_{\boldsymbol{\lambda}} E$ を確立し、$E$-値形式的べき級数のヒルベルト空間の構成を可能にする。
• $\|S^{\alpha}_{\boldsymbol{\lambda}} f_\alpha\|^2$ を用いて空間 $\mathscr{H}_{a,d}$ 上の内積を定義し、$S^{*\alpha} S^\alpha$ が $E$ 上で下から有界であることから完備性を保証する。
• 写像 $U: l^2(V) \to \mathscr{H}_{a,d}$ をユニタリに定義し、$U S_j = \mathscr{M}_{z_j} U$ を満たすことで、多シフトと乗法作用素族 $\mathscr{M}_{z,a}$ のユニタリ同値性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 合同等長作用素を超えて、根付き有向木の直積上に球対称な多シフトを構成できるか？
• RQ2 深さと分岐構造に依存する重み $\lambda_w^{(i)}$ が球対称性を保証するために満たすべき条件は何か？
• RQ3 球対称な多シフトが、再生核ヒルベルト空間上の乗法作用素族とユニタリ同値となる条件は何か？
• RQ4 古典的 $d$-シフトの解析的モデルを、共同核 $E$ を通じて非可換な木に基づく作用素へ拡張できるか？
• RQ5 多シフト $S_{\boldsymbol{\lambda}_{\mathfrak{C}_a}}$ に対応するヒルベルト空間 $\mathscr{H}_{a,d}$ の再生核の明示的形は何か？

主な発見

• 多シフト $S_{\boldsymbol{\lambda}_{\mathfrak{C}_a}}$ は、$\sum_{j=1}^d \|S_j e_v\|^2 = c_{|\alpha_v|}$ により、深さのみに依存する関数として球対称であることが確認され、球対称性が成立する。
• $c_t = 1$ がすべての $t$ に対して成り立つとき、多シフトは合同等長作用素に一致し、古典的ケースが回復される。
• $c_{a,t} = \frac{t+d}{t+1}$ のとき、多シフトは単位球上のディリクレ $d$-シフトに対応する。
• $a = d$、$a = d+1$、$a = 1$ のとき、多シフトはそれぞれ単位球上の Szegö、Bergman、Drury-Arveson $d$-シフトに対応する。
• 多シフト $S_{\boldsymbol{\lambda}_{\mathfrak{C}_a}}$ は、$E$-値正則関数の再生核ヒルベルト空間 $\mathscr{H}_{a,d}$ 上の乗法作用素族 $\mathscr{M}_{z,a}$ とユニタリ同値である。
• 再生核は $\kappa_{\mathscr{H}_{a,d}}(z,w) = \sum_{\alpha \in \mathbb{N}^d} D_\alpha z^\alpha \overline{w}^\alpha$ で与えられ、ここで $D_\alpha = (S^{*\alpha} S^\alpha|_E)^{-1}$ である。