[論文レビュー] Multistable Lévy motions and their continuous approximations

Xiequan Fan, Jacques Lévy Véhel|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、時間変動する安定性指数 α(t) にまつわる弱い正則性条件の下で、独立増分 multistable Lévy 動径 (MsLM) に対して、重み付き独立確率変数の和を用いて、関数中心極限定理を確立する。この結果、MsLM が確率的 Hölder 継続的であり、強く局所化可能であることが証明される。主な貢献は、MsLM の連続的近似の構築と、各点で α(t)-安定 Lévy 動径として強い局所形を有することが、時間変動する安定性指数 α(t) にまつわる弱い正則性条件の下で証明されることにある。

ABSTRACT

Multistable Lévy motions are extensions of Lévy motions where the stability index is allowed to vary in time. Several constructions of these processes have been introduced recently, based on Poisson and Ferguson-Klass-LePage series representations and on multistable measures. In this work, we prove a functional central limit theorem for the independent-increments multistable Lévy motion, as well as of integrals with respect to these processes, using weighted sums of independent random variables. This allows us to construct continuous approximations of multistable Lévy motions. In particular, we prove that multistable Lévy motions are stochastic Hölder continuous and strongly localisable.

研究の動機と目的

• スコロフホド位相における独立増分 multistable Lévy 動径 (MsLM) の関数中心極限定理を確立すること。
• 独立確率変数の重み付き和を用いて MsLM の連続的近似を構築すること。
• 時間変動する安定性指数 α(t) にまつわる弱い正則性条件の下で、MsLM が確率的 Hölder 継続的であり、強く局所化可能であることを証明すること。
• 特にその局所構造に注目して、多安定 Lévy 測度に関する積分の性質を調査すること。
• 局所化理論を多安定過程へと拡張し、各点における局所形が α(t)-安定 Lévy 動径であることを証明すること。

提案手法

• 時間依存する α(s) を有する、[0,1]×ℝ 上の Lebesgue 強度を有するポアソン点過程 Π を用いた、独立増分 MsLM の級数表現を用いる。
• スコロフホド空間 D[0,1] における MsLM への分布収束を保証する、独立同分布の確率変数の重み付き和への関数中心極限定理枠組みを適用する。
• MsLM の特性関数表現を用いる：E[exp(i∑θjLI(tj))] = exp(−∫|∑θj1[0,tj](s)|^{α(s)}ds)。この表現により、時間依存する α(s) によってプロセスが特徴づけられる。
• 増分のモーメントバウンドを導出し、確率的 Hölder 継続性を確立する：P(|Xr(u2)−Xr(u)|≥λ) ≤ 4C1/λ^γ [u2−u]^η で、2η>1 が成り立てば局所化可能であることが示される。
• スコロフホド距離 dS における分布収束に基づく強局所化の概念を用い、スケーリングされた増分の有限次元分布の収束を保証する。
• 接続過程フレームワークを用いる：limr↓0 (X(t+ru)−X(t))/r^{h} = Xt′(u) が分布収束する。ここで h=1/α(t) であり、条件 (7)：(α(x)−α(x+t))ln t → 0 (t↓0) の下で収束が成立することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 独立増分 multistable Lévy 動径に対して、独立確率変数の重み付き和を用いて関数中心極限定理を確立できるか？
• RQ2 時間変動する安定性指数 α(t) にどのような条件下で多安定 Lévy 動径が強く局所化可能となるか？
• RQ3 多安定 Lévy 動径の正則性特性、特に確率的 Hölder 継続性はどのようなものか？
• RQ4 関数極限定理を用いて、多安定 Lévy 動径の連続的近似をどのように構築できるか？
• RQ5 多安定 Lévy 測度に関する積分の局所構造は何か？また、それらはプロセスの局所形とどのように関係するか？

主な発見

• 独立増分 MsLM は関数中心極限定理を満たす：特定の i.i.d. 確率変数の重み付き和は、スコロフホド空間 D[0,1] において LI(t) に分布収束する。
• 多安定 Lévy 動径は確率的 Hölder 継続的であり、各点 t における Hölder 指数は 1/α(t) である。これは、増分のモーメントバウンドが 2η>1 を満たす場合に成立する。
• プロセス LI(t) は、すべての t∈[0,1] で強局所化可能であり、強局所形は Lα(t)(·) である。これは条件 (7)：(α(x)−α(x+t))ln t → 0 (t↓0) の下で成立する。
• Y(t)=∫₀¹ w(x)1[0,t](x)Mα(dx) で定義される重み付き MsLM は、すべての x∈[0,1] で 1/α(x)-強局所化可能であり、強局所形は w(x)Lα(x)(·) である。ただし w は連続であるものとする。
• 独立増分 MsLM LI(t) は、w(x)≡1 の重み付き MsLM の特別な場合であり、したがって局所形 Lα(x)(·) を有する強局所化可能性を継承する。
• 証明により、局所形は非退化的であり、α(t)-安定 Lévy 動径と一致することが確認され、MsLM が局所的に自己相似的であり、指数 1/α(t) を有することを裏付けた。