[論文レビュー] Multistage Distributionally Robust Mixed-Integer Programming with Decision-Dependent Moment-Based Ambiguity Sets

Xian Yu, Siqian Shen|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2020

Risk and Portfolio Optimization参考文献 34被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、意思決定に依存するモーメントベースのあいまいさ集合を備えた、段階的分布ロバスト混合整数プログラミングフレームワークを提案する。これにより、内生的不確実性下でのロバスト最適化が可能になる。部分問題は混合整数線形計画（MILP）または半定計画（MISDP）に再定式化され、効率的に解くために確率的双対動的整数プログラミング（SDDiP）が適用され、施設配置インスタンスにおける高速収束とタイトな境界を示している。

ABSTRACT

We study multistage distributionally robust mixed-integer programs under endogenous uncertainty, where the probability distribution of stage-wise uncertainty depends on the decisions made in previous stages. We first consider two ambiguity sets defined by decision-dependent bounds on the first and second moments of uncertain parameters and by mean and covariance matrix that exactly match decision-dependent empirical ones, respectively. For both sets, we show that the subproblem in each stage can be recast as a mixed-integer linear program (MILP). Moreover, we extend the general moment-based ambiguity set in (Delage and Ye, 2010) to the multistage decision-dependent setting, and derive mixed-integer semidefinite programming (MISDP) reformulations of stage-wise subproblems. We develop methods for attaining lower and upper bounds of the optimal objective value of the multistage MISDPs, and approximate them using a series of MILPs. We deploy the Stochastic Dual Dynamic integer Programming (SDDiP) method for solving the problem under the three ambiguity sets with risk-neutral or risk-averse objective functions, and conduct numerical studies on multistage facility-location instances having diverse sizes under different parameter and uncertainty settings. Our results show that the SDDiP quickly finds optimal solutions for moderate-sized instances under the first two ambiguity sets, and also finds good approximate bounds for the multistage MISDPs derived under the third ambiguity set. We also demonstrate the efficacy of incorporating decision-dependent distributional ambiguity in multistage decision-making processes.

研究の動機と目的

• 内生的不確実性下での段階的意思決定を扱う。ここで、将来の不確実性の分布は以前の意思決定に依存する。
• 静的状態から段階的分布ロバスト最適化におけるモーメントベースのあいまいさ集合を意思決定に依存する設定に拡張する。
• 異なるあいまいさ集合タイプに対して、部分問題の取り扱いやすい混合整数線形計画（MILP）または半定計画（MISDP）形式への再定式化を構築する。
• SDDiPの前向きおよび後向きパスにおいて、MILP近似を段階的に用いることで、段階的MISDPの下界および上界を設計する。
• リスク中立的およびリスク回避的定式化の下で、多様な不確実性およびデータ設定におけるSDDiP手法の性能を評価する。

提案手法

• 3種類のあいまいさ集合を提案：最初の2つは1階および2階モーメントの意思決定に依存する上限に基づくもので、3つ目は経験的平均および共分散行列を正確に一致させるもの。
• 各段階の部分問題を、最初の2つのあいまいさ集合に対して混合整数線形計画（MILP）として、3つ目の集合に対して混合整数半定計画（MISDP）として再定式化する。
• SDDiPの前向きおよび後向きパスにおいて、MILPの逐次近似を用いてMISDP部分問題を近似することで、下界および上界を求めるアルゴリズムを開発する。
• 段階的問題をリスク中立的およびリスク回避的目的で解くために、確率的双対動的整数プログラミング（SDDiP）の変種を適用する。
• 経験的データを用いて、特に段階的施設配置問題における意思決定に依存する不確実性を反映するあいまいさ集合を構築する。
• 反復的にカットと境界を精緻化する分解ベースのアプローチを採用し、最初の2つのあいまいさ集合では収束を保証し、3つ目の集合では狭いギャップ制御を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モーメントベースのあいまいさ集合を、意思決定に依存する不確実性を伴う段階的問題にどのように拡張できるか。
• RQ2 意思決定に依存するあいまいさ集合の下で、段階的分布ロバスト混合整数計画の部分問題は、取り扱いやすいMILPまたはMISDP形式に再定式化可能か。
• RQ3 SDDiP手法は、特にリスク回避的目的の下で、これらの再定式化された問題をどれほど効果的に解けるか。
• RQ4 とくに複雑なMISDPベースのあいまいさ集合に対して、境界スキームが生成する下界および上界の品質はいかがなものか。
• RQ5 意思決定に依存するあいまいさ集合を組み込むことで、意思決定に依存しない場合と比較して、解のロバスト性および目的関数性能はどのように向上するか。

主な発見

• 最初の2つのあいまいさ集合では、SDDiP手法が中程度のサイズのインスタンスに対して最適解を素早く見つけ、相対ギャップが常に4%未満である。
• 3番目のあいまいさ集合（経験的モーメント一致）では、下界および上界のギャップが小さく、N-DDDRの相対ギャップは常に4%未満、N-DIDRでは10−4未塔であり、収束性が非常に高いことが示された。
• N-DDDRの最適解では、1段階目で常に施設#1が選択されており、これは中心に位置し、需要分布パラメータに最も大きな影響を与える施設である。
• 正規分布下では、需要変動が小さい場合（ρ ≤ 0.4）にあいまいさ集合が空集合になるが、対照的に対数正規分布下では、変動が大きい場合（ρ ≥ 0.8）に空集合になる。これは分布の感度が顕著に現れている。
• 計算時間はサポートサイズK、施設数I、段階数Tの増加に伴い増加する。下界（LB）が最も時間がかかるのはMISDPの解法に起因し、上界（UB）が最も速いのはMILP部分問題による。
• N-DDDRは、意思決定に依存しない対応する手法と比較して、常に優れた目的関数値を達成しており、分布ロバスト最適化において意思決定に依存する不確実性をモデル化することの価値を示している。