[論文レビュー] Multisymplectic Theory of Balance Systems and Entropy Principle

Serge Preston|ArXiv.org|Nov 28, 2006

Advanced Differential Geometry Research参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Poincaré-Cartan形式を用いて連続体熱力学におけるバランス系の多重シンプレクティック幾何的枠組みを構築し、保存則を射影バンドルと双対バンドル間の写像として含む、ラグランジュ場理論の一般化を行う。主な貢献は、バランス系の統一的変分的定式化であり、特にリーマン拡張熱力学（RET）におけるエントロピー原理のホロノミー的特徴づけと、保存則と配置バンドルの自己同型の関係を示すノイザー型定理を含む。

ABSTRACT

In this paper we are presenting the theory of balance equations of the Continuum Thermodynamics (balance systems) in a geometrical form using Poincare-Cartan formalism of the Multisymplectic Field Theory. A constitutive relation $\mathcal{C}$ of a balance system $B_{C}$ is realized as a mapping between a (partial) 1-jet bundle of the configurational bundle $π:Y o X$ and the dual bundle similar to the Legendre mapping of the Lagrangian Field Theory. Invariant (variational) form of the balance system $B_{C}$ is presented in three different forms and the space of admissible variations is defined and studied. Action of automorphisms of the bundle $π$ on the constitutive mappings $C$ is studied and it is shown that the symmetry group $Sym(C)$ of the constitutive relation $C$ acts on the space of solutions of the balance system $B_{C}$. Suitable version of Noether Theorem for an action of a symmetry group is presented with the usage of conventional multimomentum mapping. Finally, the geometrical (bundle) picture of the Rational Extended Thermodynamics in terms of Lagrange-Liu fields is developed and the entropy principle is shown to be equivalent to the holonomicy of the current component of the constitutive section.

研究の動機と目的

• 連続体熱力学におけるバランス方程式を、ラグランジュ場理論の変分的枠組みを拡張することで、多重シンプレクティック幾何学を用いて定式化すること。
• 特にリーマン拡張熱力学（RET）を含む、非可逆熱力学の異なる定式化を、一つの幾何的構造に統一すること。
• 構成関係の成分の電流成分におけるホロノミー条件として、エントロピー原理の幾何的特徴づけを確立すること。
• 構成関係の対称性に対するノイザー型定理を構築し、保存則と配置バンドルの自己同型の関係を明示すること。
• 一般化されたルジャンドル変換と、ジェットバンドルおよび双対バンドル上の多重シンプレクティック形式を用いた、バランス系の正準的定式化を提供すること。

提案手法

• 配置バンドル $\pi: Y \to X$ の1次ジェットバンドル $J^1(\pi)$ 上におけるPoincaré-Cartan形式を用いてバランス系を定式化する。
• 1次ジェットバンドルから拡張された双対バンドルへの一般化されたルジャンドル変換を導入し、ラグランジュ力学におけるルジャンドル写像に類似させる。
• Poincaré-Cartan形式から導かれる、バンドル $\tilde{Z}$ 上の標準的多重シンプレクティック形式 $\Omega$ を用いて、多重シンプレクティック構造を定義する。
• ジェット構造を尊重し、接触形式を除いて引き戻しと可換である、修正された外微分 $\hat{d}$ を導入する。
• $\hat{d}$-作用素を用いて、バランス系の不変（変分的）形式を3通りの同等な定式化で定義する：Poincaré-Cartan形式、Euler-Lagrange形式、および修正された水平微分形式。
• RETに理論を適用し、ラグランジュ＝リウ双対場を導入し、エントロピー原理が構成関係の電流成分のホロノミーに相当することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続体熱力学におけるバランス系は、ラグランジュ場理論に類似した変分的・多重シンプレクティック枠組みでどのように定式化可能か？
• RQ2 構成関係 $\mathcal{C}$ が状態バンドルとその双対との間で果たす幾何的役割は何か？ そして、これはルジャンドル変換をどのように一般化するか？
• RQ3 リーマン拡張熱力学（RET）におけるエントロピー原理はどのように幾何学的に現れるか？ また、構成関係にどのような条件を課すとその有効性が保証されるか？
• RQ4 配置バンドル $\pi$ の対称性はバランス系の解空間にどのように作用するか？ また、このような対称性から生じる保存則は何か？
• RQ5 修正された水平微分 $\hat{d}$ はバランス系の変分的構造を定義する上で果たす役割は何か？ そして、標準的な de Rham 微分とはどのように関係するか？

主な発見

• 構成関係 $\mathcal{C}$ は、部分的1次ジェットバンドル $J^1_K(\pi)$ から拡張された双対バンドル $\tilde{Z}$ への写像として実現され、ルジャンドル写像を一般化する。
• バランス系 $\mathcal{B}_\mathcal{C}$ の不変形式は、Poincaré-Cartan形式、Euler-Lagrange形式、および修正された水平微分形式の3通りの同等な表現を持つ。これらはすべて多重シンプレクティック構造と整合的である。
• エントロピー原理は、構成関係の電流成分のホロノミーと幾何学的に同等であり、電流が $\hat{d}$-作用素に関して閉じている（$\hat{d}$-閉）ことが条件である。
• 構成関係の対称性群 $\mathrm{Sym}(\mathcal{C})$ は、$\mathcal{B}_\mathcal{C}$ の解空間に作用し、マルチモーメンタム写像を用いてノイザー型定理が確立される。
• $\hat{d}$-作用素は $\hat{d}^2 = 0$ を満たし、接触形式を除いて引き戻しと可換であるため、バンドル自己同型の下でも変分的構造の整合性が保証される。
• RETにおいて、ラグランジュ＝リウ場を用いた双対定式化により、エントロピー原理が電流成分がホロノミック（すなわち $\hat{d}$-閉）であることと同等であることが示された。