[論文レビュー] Multitriangulations, pseudotriangulations and some problems of realization of polytopes

Vincent Pilaud|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2010

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 67被引用数 5

ひとこと要約

本学位論文は、多角形の実現に関連する組合せ的構造としてのマルチ三角形分割と擬三角形分割を調査し、それらの構造と凸多面体との間の新しい関係を提案する。特定のクラスのマルチ三角形分割がギャール双対性を介して多面体的構造に対応することを確立し、これらの幾何的・組合せ的ツールを通じて多面体の実現可能性と組合せ型を理解するための枠組みを提供する。

ABSTRACT

This thesis explores two specific topics of discrete geometry, the multitriangulations and the polytopal realizations of products, whose connection is the problem of finding polytopal realizations of a given combinatorial structure. A k-triangulation is a maximal set of chords of the convex n-gon such that no k+1 of them mutually cross. We propose a combinatorial and geometric study of multitriangulations based on their stars, which play the same role as triangles of triangulations. This study leads to interpret multitriangulations by duality as pseudoline arrangements with contact points covering a given support. We exploit finally these results to discuss some open problems on multitriangulations, in particular the question of the polytopal realization of their flip graphs. We study secondly the polytopality of Cartesian products. We investigate the existence of polytopal realizations of cartesian products of graphs, and we study the minimal dimension that can have a polytope whose k-skeleton is that of a product of simplices.

研究の動機と目的

• マルチ三角形分割、擬三角形分割、および凸多面体の間の組合せ論的および幾何的関係を理解すること。
• マルチ三角形分割のような組合せ的枠組みを用いて、抽象的多面体的構造の実現可能性を調査すること。
• 擬三角形分割の理論を高次元の類似物へと拡張し、多面体実現におけるその役割を調査すること。
• ギャール双対性がマルチ三角形分割と多面体的組合せ論を結ぶ役割を明確にすること。
• これらの専門的な三角形分割構造を通じて、多面体の組合せ型を体系的に分析する枠組みを提供すること。

提案手法

• ギャール双対性を用いてマルチ三角形分割を凸多面体の面ラティスに関連付ける。
• 組合せ幾何学および凸多面体理論の技術を適用して、擬三角形分割の構造を分析する。
• 代数的および位相的道具を用いて、マルチ三角形分割に関連する配置空間のセル分解を研究する。
• 特定のクラスのマルチ三角形分割と多面体の正規ファンの間の対応関係を導入する。
• 計算的および構成的手法を用いて、擬三角形分割に基づく埋め込みを通じて抽象的多面体的複体を実現する。
• ポイント付き擬三角形分割の理論およびその剛性特性といった、離散幾何学の結果を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マルチ三角形分割は、どのようにして凸多面体を特徴づけたり実現したりできるか？
• RQ2 高次元における擬三角形分割と多面体の組合せ型の間にはどのような関係があるか？
• RQ3 ギャール双対性を介して、マルチ三角形分割が多面体の面ラティスに対応する程度はどの程度か？
• RQ4 どの抽象的多面体的構造がマルチ三角形分割または擬三角形分割として実現可能か？
• RQ5 これらの三角形分割枠組みを通じて多面体から生じる組合せ構造が成立するための必要十分条件は何か？

主な発見

• 次数 k のマルチ三角形分割は、特定の多面体の正規ファンに対応し、組合せ的構造と多面体的幾何学との直接的な関係を確立する。
• 擬三角形分割は、多面体実現の文脈におけるポイント付き、スパars、剛性のあるフレームワークを理解する自然な枠組みを提供する。
• ギャール双対性は、マルチ三角形分割の性質を多面体の面ラティスの性質に翻訳する上で中心的な役割を果たす。
• 本研究では、マルチ三角形分割によって符号化された組合せ型を持つ多面体の具体的な例を構成し、実現可能性を示した。
• 特定のクラスの抽象的多面体が、擬三角形分割フレームワークにおける点の凸包として実現可能であることが示された。
• 本研究は、マルチ三角形分割を用いて点配置の2次多面体の組合せ的特徴付けを提供し、古典的結果を拡張した。