[論文レビュー] Multivariable adjunctions and mates

Eugenia Cheng, Nick Gurski+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、多変数随伴とその仲間対応（mates correspondence）を形式化する枠組みとして、循環的二重多重圏（cyclic double multicategories）を導入する。これは古典的な1変数仲間対応の同型をn変数設定に一般化したものである。多変数随伴、たとえばテンソル／ホム／コテンソル関手が、循環的二重多重圏をなすことが確立され、豊潤化および代数的モデル圏における同等の記述の間を滑らかに移行可能となる。応用としては代数的モノイダルモデル圏およびawfs（代数的弱因子化系）の合成が含まれる。

ABSTRACT

We present the notion of "cyclic double multicategory", as a structure in which to organise multivariable adjunctions and mates. The classic example of a 2-variable adjunction is the hom/tensor/cotensor trio of functors; we generalise this situation to n+1 functors of n variables. Furthermore, we generalise the mates correspondence, which enables us to pass between natural transformations involving left adjoints to those involving right adjoints. While the standard mates correspondence is described using an isomorphism of double categories, the multivariable version requires the framework of "double multicategories". Moreover, we show that the analogous isomorphisms of double multicategories give a cyclic action on the multimaps, yielding the notion of "cyclic double multicategory". The work is motivated by and applied to Riehl's approach to algebraic monoidal model categories.

研究の動機と目的

• 古典的な1変数仲間対応をn変数随伴へ一般化すること。
• テンソル／ホム／コテンソルの三つ組のような、多変数随伴に内在する循環的対称性を形式化すること。
• 多変数随伴とその変換を整理するための構造的枠組み（循環的二重多重圏）を提供すること。
• この枠組みを代数的モノイダルモデル圏、特にawfs（代数的弱因子化系）の文脈に応用すること。
• awfsの多変数随伴が整合的に合成可能であり、仲間条件を保つことを示すこと。

提案手法

• 1つの変数を固定することで随伴が得られるn変数のn+1個の関手として多変数随伴を定義する。
• 多重写像および高次元の関手を取り扱うために、二重圏の一般化として二重多重圏を導入する。
• 自己同型（例：(•) = ( )^op）を用いて多重圏構造に循環的作用を導入し、循環的二重多重圏を構成する。
• 仲間対応を用いて左随伴と右随伴を含む自然変換を関連づけ、1変数の場合を一般化する。
• 随伴およびn変数随伴を保存する擬関手ˆ( )を構成し、awfs構造の取り扱いに不可欠である。
• awfs設定におけるパラメータ化された仲間（αi）が、循環的二重多重圏枠組みを介して必要な整合性を満たすことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的な仲間対応を1変数からn変数随伴へどのように一般化できるか？
• RQ2 テンソル／ホム／コテンソルのような多変数随伴に観察される循環的対称性を最もよく捉えるカテゴリー的構造は何か？
• RQ3 代数的弱因子化系（awfs）の多変数随伴は、仲間条件を保ちつつ合成可能か？
• RQ4 循環的二重多重圏枠組みは、豊潤化圏論における同等の記述の間を滑らかに移行可能にするか？
• RQ5 擬関手ˆ( )は、随伴を保存し、awfsの多変数随伴の構成を容易にする役割を果たすか？

主な発見

• テンソル／ホム／コテンソルの三つ組のような多変数随伴は、その内在する循環的対称性を捉えるために、循環的二重多重圏をなす。
• 仲間対応は、二重多重圏の同型を用いてn変数へ一般化され、今や循環的作用を備えたものとなる。
• ˆ( )を擬関手として構成することで、随伴を保存するとともに、特にn変数随伴を保存することが、記号に依存するがきめ細やかな証明により示された。
• awfsの多変数随伴は、合成され、新たなawfsの多変数随伴を生じさせ、その合成は仲間条件を保つ。
• この枠組みにより、単体的集合からキーン複体へのホム空間が再びキーン複体であることを、2変数随伴による代数的構成的証明が可能となる。
• この結果により、V-モデル圏間のV-関手の全導来関手が、整合的な仲間対応および合成を通じて、Vのホモトピー圏に自然に豊潤化可能であることが示される。