[論文レビュー] Multivariable backward-shift-invariant subspaces and observability operators

Joseph A. Ball, Vladimir Bolotnikov+1 more|ArXiv.org|Oct 20, 2006

Holomorphic and Operator Theory参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、1変数から多変数設定へ、古典的な後退シフト不変部分空間および観測可能性作用素を拡張し、非可換フォック空間と可換アーヴェソン空間を分析する。出力安定な多次元線形システムは、その範囲が再生核ヒルベルト空間である観測可能性作用素を生成し、非可換および可換フォンティナ＝マルケージュイン系を通じて、システム理論と関数的モデルを結びつける。

ABSTRACT

It is well known that subspaces of the Hardy space over the unit disk which are invariant under the backward shift occur as the image of an observability operator associated with a discrete-time linear system with stable state-dynamics, as well as the functional-model space for a Hilbert space contraction operator. We discuss two multivariable extensions of this structure, where the classical Hardy space is replaced by (1) the Fock space of formal power series in a collection of $d$ noncommuting indeterminates with norm-square-summable vector coefficients, and (2) the reproducing kernel Hilbert space (often now called the Arveson space) over the unit ball in ${\mathbb C}^{d}$ with reproducing kernel $k(λ, ζ) = 1/(1 - < λ, ζ>)$ ($\lam, ζ\in {\mathbb C}^{d}$ with $\| λ\|, \| ζ\| < 1$). In the first case, the associated linear system is of noncommutative Fornasini-Marchesini type with evolution along a free semigroup with $d$ generators, while in the second case the linear system is a standard (commutative) Fornasini-Marchesini-type system with evolution along the integer lattice ${\mathbb Z}^{d}$. An abelianization map (or symmetrization of the Fock space) links the first case with the second. The second case has special features depending on whether the operator-tuple defining the state dynamics is commutative or not. The paper focuses on multidimensional state-output linear systems and the associated observability operators.

研究の動機と目的

• 1変数から多変数設定への、古典的な後退シフト不変部分空間および観測可能性作用素の一般化。
• 自由半群の時間発展を伴う非可換フォック空間における多次元状態出力線形系の分析。
• 可換アーヴェソン空間設定における、観測可能性作用素の範囲と再生核ヒルベルト空間との関係の確立。
• アーベル化写像を通じて非可換および可換枠組みを統一。
• 多次元システム理論における、観測可能性作用素による作用素族のモデル化の基盤を提供。

提案手法

• d個の非可換不定元における形式的冪級数の非可換フォック空間を、ノルム平方summable係数を用いて定義。
• 自由半群上の非可換フォンティナ＝マルケージュイン系に対して、Z変換された系の軌道を用いて定義される観測可能性作用素を適用。
• ステイン方程式を用いた出力安定性の分析と、非可換設定における有界な観測可能性作用素の存在。
• 同じ枠組みを、単位球上における可換アーヴェソン空間に適用し、核 $ k(\lambda,\zeta) = 1/(1 - \langle\lambda,\zeta\rangle) $ を持つ。ラティスに基づく時間発展を用いる。
• 非可換フォック空間と可換アーヴェソン空間を結ぶアーベル化写像を導入。
• 観測可能性作用素を通じて、作用素族と不変部分空間上の圧縮シフトとのユニタリ同値性を確立。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換フォック空間におけるd変数への、ハッジ空間からの後退シフト不変部分空間の一般化はどのように可能か？
• RQ2 非可換設定において、観測可能性作用素は、その範囲が再生核ヒルベルト空間であることをどのように特徴付けるか？
• RQ3 可換および非可換多次元系は、それらの関数的モデル実現においてどのように異なるか？
• RQ4 アーベル化写像は、非可換および可換多変数系を結ぶ上でどのような意義を持つか？
• RQ5 可換設定における観測可能性作用素は、行収縮的作用素族の関数的モデルを実現できるか？

主な発見

• 非可換設定における出力安定なペア (C, A) は、有界な観測可能性作用素を生成し、その範囲はフォック空間内での再生核ヒルベルト空間である。
• 非可換設定における観測可能性作用素の範囲は、システムに関連する関数的モデル空間に等長同型である。
• 可換アーヴェソン空間において、出力安定で、行収縮的かつ漸近安定な作用素族は、観測可能性作用素を通じて関数的モデルを有する。
• 可換設定における観測可能性作用素の範囲は、アーヴェソン空間内の後退シフト不変部分空間であり、関数的モデルと同型である。
• 一般モデル理論が確立された：劣化作用素 $ D_{{\mathbf{T}}^{*}} $ が正しく定義され、$ \mathbf{T}^* $ が安定性条件を満たすならば、$ \mathcal{O}_{D_{{\mathbf{T}}^{*}},{\mathbf{T}}^{*}} $ は $ \mathbf{T} $ と不変部分空間上の乗法作用素族の圧縮との間にユニタリ同値を実現する。
• 結果は、アーベルスフィアモデルを通じて、可換行収縮に対するフォン・ノイマンの不等式を回復および一般化する。