[論文レビュー] Multivariable cochain operations and little n-cubes

James E. McClure, Jeffrey H. Smith|ArXiv.org|Jun 4, 2001

Advanced Algebra and Logic参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、位相空間の正規化コホモロジー $S^*X$ に自然に作用する、明示的で小さな $E_∞$ チェイン作用素 $\mathcal{S}$ を構成する。この作用素は、$E_∞$ 構造の有限型モデルを提供する。さらに、$\mathcal{S}_n$ と呼ばれる部分作用素を定義し、これは小さな $n$-キューブ作用素の正規化特異チェイン複体と準同型である。これにより、$\mathcal{S}_2$ の簡略化された作用を用いて、デリーニの Hochschild コホモロジー予想に対する短く明示的な証明が得られる。

ABSTRACT

This is a revision of a paper first posted June 4, 2001. It will appear in the Journal of the AMS. In this paper we construct a small $E_\infty$ chain operad $§$ which acts naturally on the normalized cochains $S^*X$ of a topological space. We also construct, for each $n$, a suboperad $§_n$ which is quasi-isomorphic to the normalized singular chains of the little $n$-cubes operad. The case $n=2$ leads to a substantial simplification of our earlier proof of Deligne's Hochschild cohomology conjecture.

研究の動機と目的

• 位相空間の正規化コホモロジー $S^*X$ に自然に作用する、小さな有限型 $E_\infty$ チェイン作用素 $\mathcal{S}$ を構成すること。
• 各 $n$ に対して、$\mathcal{S}_n \subset \mathcal{S}$ である部分作用素 $\mathcal{S}_n$ を定義し、それが小さな $n$-キューブ作用素の正規化特異チェイン複体と準同型であるようにすること。
• $\mathcal{S}_2$ による Hochschild コホモロジー複体への作用を用いて、整数上でのデリーニの Hochschild コホモロジー予想に対して、著しく短く明示的な証明を提供すること。
• 小さな $n$-キューブ作用素のための新しい、計算に適したチェインモデルを提供し、従来の構成を簡略化し、一般化されたデリーニ予想の証明の可能性を高めること。

提案手法

• 作用素 $\mathcal{S}$ は、順序付き集合の重複分割を用いて定義される多変数コホモロジー作用素を用いて構成され、カップ-$i$ 積の一般化である。
• 作用素 $\mathcal{S}$ の構造写像は、標準単体間のアフィン写像と、coboundary 公式 $d(x) = -(-1)^{|x|}x \circ \partial$ から導かれる符号規則に基づいて定義される。
• 部分作用素 $\mathcal{S}_n$ は、$n$ 重の対称性を持つ重複分割に対応する特定のタイプの作用素によって生成される $\mathcal{S}$ の部分複体として定義される。
• $\mathcal{S}_n$ と小さな $n$-キューブ作用素の正規化特異チェイン複体との間の準同型は、ベルジャの方法を用いて確立され、特別な図式と一意的な順序付き同型写像を用いてチェインレベルの構造を検証する。
• $\mathcal{S}_2$ による Hochschild コホモロジー複体への作用は、多変数作用素を明示的に定義し、符号と定義域の条件を満たすことで、微分と整合性を持つように保証される。
• 主要定理の証明は、重複分割データの組み合わせ的制御を用いて、ホモロジー上に誘導される写像が要求される $E_\infty$ 関係を満たすことを検証することに依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規化コホモロジー $S^*X$ に自然に作用する、小さな有限型 $E_\infty$ チェイン作用素を構成できるか？
• RQ2 $\mathcal{S}_n \subset \mathcal{S}$ で、小さな $n$-キューブ作用素の正規化特異チェイン複体と準同型であるような部分作用素が存在するか？
• RQ3 整数上でのデリーニの Hochschild コホモロジー予想を、より短く明示的な方法で証明できるか？
• RQ4 構成された作用素 $\mathcal{S}_2$ は、Hochschild コホモロジー複体に有効な $E_\infty$ 構造を提供するか？
• RQ5 新しい小さな $n$-キューブ作用素のモデルは、コンツェビッチの一般化されたデリーニ予想の証明を可能にするか？

主な発見

• 作用素 $\mathcal{S}$ は、重複分割とアフィン写像を用いた明示的で、直観的な記述により、$S^*X$ に自然に作用する有限型チェイン作用素として構成されている。
• $\mathcal{S}_n$ は、$\mathbb{Z}$ 上のチェイン作用素の圏において、小さな $n$-キューブ作用素の正規化特異チェイン複体と準同型であることが示され、新しい最小チェインモデルが確立された。
• $\mathcal{S}_2$ による Hochschild コホモロジー複体への作用は、整数上でのデリーニの Hochschild コホモロジー予想の解決を提供し、従来の証明よりも著しく短い。
• $\mathcal{S}_n$ の準同型の証明にはベルジャの方法が用いられ、重複分割から特別な図式と商写像を構成することで、必要なホモロジー的整合性が保証された。
• $\mathcal{S}_2$ は、著者らの以前の研究における作用素 $\mathcal{C}$ と同型であるが、本稿ではより明示的な記述と、小さな 2-キューブチェイン作用素との準同型の証明がはるかに簡潔に与えられている。
• この構成は、$\overline{\mathbb{F}}_p$ 上でのマンドルの定理と整合するため、有限型の連結 $p$-完全なニロポテンツ空間のホモトピー圏が、$\mathcal{S}$-代数のホモトピー圏に埋め込まれることを示唆している。