[論文レビュー] Multivariable Twisted Alexander Polynomial for hyperbolic three-manifolds with boundary

Jérôme Dubois, Yoshikazu Yamaguchi|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、境界を持つ双曲的3次元多様体に対して、SL(2,C)表現を用いたリードマイスター torsion を用いて、多変数のねじれたアレクサンダー多項式を導入する。トポロジー的および表現論的条件の下でカットアンドパスト技法を適用することにより、不変量が逆多項式であることを証明し、被覆公式を確立する。これにより微分係数が非アセイクルな SL(2,C)-リードマイスター torsion と関連づけられる。

ABSTRACT

Abstract. We consider a sign–determined Reidemeister torsion with multivariables for a hyperbolic three–dimensional manifold with cusps. Using a cut and paste argument, we prove that this Reidemeister torsion is a polynomial invariant when provided with appropriate conditions on the topology of the manifold and SL2(C)representations of its fundamental group. Under such assumptions, it is proved that this polynomial invariant is reciprocal like the usual Alexander polynomial. It is also shown that a differential coefficient of this polynomial invariant provides the non–acyclic SL2(C)-Reidemeister torsion. Moreover, we show a covering formula for a finite abelian covering, which gives the Reidemeister torsion of a covering space by the product of those of the base space manifold. 1.

研究の動機と目的

• 境界を持つ双曲的3次元多様体に対して、符号決定済みリードマイスター torsion を用いて多変数のねじれたアレクサンダー多項式を定義すること。
• この torsion が多項式不変量となる条件を確立すること。
• この多項式不変量が、古典的なアレクサンダー多項式と同様に逆多項式であることを証明すること。
• 多項式の微分係数と非アセイクルな SL(2,C)-リードマイスター torsion の関係を特定すること。
• 有限アーベル被覆に対して被覆公式を導出し、被覆の torsion が基本多様体の torsion の積として表せることを示すこと。

提案手法

• 境界付き双曲的3次元多様体に対して、多変数の符号決定済みリードマイスター torsion を用いる。
• 多様体のトポロジー的制約および基本群の性質の下で、torsion の解析にカットアンドパストの議論を適用する。
• 基本群の SL(2,C) 表現に条件を課すことにより、torsion が多項式になるように保証する。
• 有限アーベル被覆における torsion の振る舞いを分析することで、被覆公式を導出する。
• 多項式の微分的性質を用いて、非アセイクルな SL(2,C)-リードマイスター torsion を回復する。
• トポロジー的および表現論的制約を用いて、多項式不変量の逆性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようなトポロジー的および表現論的条件下で、多変数リードマイスター torsion が多項式不変量となるか？
• RQ2 多変数のねじれたアレクサンダー多項式は、非アセイクルな SL(2,C)-リードマイスター torsion とどのように関係するか？
• RQ3 得られる多項式不変量は、古典的なアレクサンダー多項式と同様に逆多項式か？
• RQ4 有限アーベル被覆のリードマイスター torsion を、基底多様体の torsion から計算する被覆公式を導出できるか？
• RQ5 多項式の微分係数は、torsion 不変量を回復する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 適切なトポロジー的および表現論的条件下で、多変数のねじれたアレクサンダー多項式が逆多項式であることが証明された。
• 多項式不変量の微分係数は、非アセイクルな SL(2,C)-リードマイスター torsion を与える。
• 被覆公式が確立され、有限アーベル被覆のリードマイスター torsion が、与えられた条件下で基本多様体の torsion の積として表せることを示した。
• 不変量の整合性と多項式性を保証するために、カットアンドパストの議論に依拠している。
• 不変量は符号決定済みリードマイスター torsion と多変数を用いて定義され、古典的不変量を境界付き双曲的3次元多様体へ拡張している。
• 結果として、SL(2,C) 表現と多変数不変量の文脈において、アレクサンダー多項式の古典的性質が一般化された。