[論文レビュー] Multivariate Analysis of Orthogonal Range Searching and Graph Distances

Karl Bringmann, Thore Husfeldt+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、強指数時間仮説（SETH）の下で、グラフの直径問題のパラメータ化された複雑さを調査している。treewidth や vertex cover などのパラメータでは、f(k)(n+m) 時間アルゴリズムが存在しないことが示されているが、直径と h-index の組み合わせパラメータに対しては、f(k)(n+m) 時間アルゴリズムが提示されている。また、直径と最大次数、または支配数を組み合わせると、SETH を否定するアルゴリズムが得られ、スパースグラフにおけるパラメータ化された直径計算のタイトな条件付き下界が確立されている。

ABSTRACT

We show that the eccentricities, diameter, radius, and Wiener index of an undirected n-vertex graph with nonnegative edge lengths can be computed in time O(n * binom{k+ceil[log n]}{k} * 2^k k^2 log n), where k is the treewidth of the graph. For every epsilon>0, this bound is n^{1+epsilon}exp O(k), which matches a hardness result of Abboud, Vassilevska Williams, and Wang (SODA 2015) and closes an open problem in the multivariate analysis of polynomial-time computation. To this end, we show that the analysis of an algorithm of Cabello and Knauer (Comp. Geom., 2009) in the regime of non-constant treewidth can be improved by revisiting the analysis of orthogonal range searching, improving bounds of the form log^d n to binom{d+ceil[log n]}{d}, as originally observed by Monier (J. Alg. 1980). We also investigate the parameterization by vertex cover number.

研究の動機と目的

• 強指数時間仮説（SETH）の下で、グラフの直径問題のパラメータ化された複雑さを解明すること。
• 直径が f(k)(n + m) 時間で計算可能となる構造的グラフパラメータ k を特定すること、ここで f は計算可能で、k はパラメータである。
• 特に、ソーシャルネットワークのような現実世界のグラフに関連するパラメータの組み合わせ（例：直径と h-index）を検討し、より高速なパラメータ化アルゴリズムを達成すること。
• 特定のパラメータの組み合わせが f(k)(n + m)^{2−ε} 時間アルゴリズムをもたらすと仮定した場合、SETH が否定されることを示すことで、スパースグラフにおけるパラメータ化された直径計算のタイトな条件付き下界を確立すること。

提案手法

• Triviality からの距離というパラメータ化を用いて、木などの特殊グラフクラスからの tractability 結果を、小さなモジュレータを持つグラフへと拡張する。
• CNF-SAT 問題からの還元を適用し、直径、支配数、無環彩色数が制御されたグラフを構築することで、SETH に基づく下界を証明する。
• 変数の割り当て、節、および補助頂点（sij, qij）を含む新しい構成を用いて、結果のグラフの直径内で充足可能性をシミュレートする。
• 奇サイクル除去集合に関する直径のパラメータ化が General-Problem-hard であることを示すために、General-Problem-hardness の概念を導入する。
• 既知のパラメータ（h-index、最大次数、支配数）を組み合わせることで、上界と下界の両方を導出する。
• BFS をダイクストラ法に置き換えることで、重みなしグラフからのアルゴリズム結果を重み付きグラフへと転送し、パラメータ化された効率性を対数的要因の範囲で保持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 treewidth や vertex cover、フィードバックエッジ数などの構造的グラフパラメータに対して、直径問題は f(k)(n + m) 時間で解けるか？
• RQ2 直径と h-index、または直径と最大次数を組み合わせた場合、パラメータ化された tractability においてどのような結果が得られるか？
• RQ3 直径の f(k)(n + m)^{2−ε} 時間アルゴリズムが存在するパラメータは、SETH を否定するのだろうか？
• RQ4 h-index と直径を組み合わせることで、ソーシャルネットワークのような現実世界のグラフに対して、実用的で効率的なパラメータ化アルゴリズムを設計できるか？

主な発見

• フィードバックエッジ数 k に対して、O(k·n) 時間のアルゴリズムが存在し、このパラメータクラスでは唯一の k^{O(1)}(n + m) 時間アルゴリズムである。
• cograph からの距離というパラメータに対しては、2^{O(k)}(n + m) 時間のアルゴリズムが提示されており、このパラメータ下での tractability を示している。
• 奇サイクル除去集合に関する直径のパラメータ化は General-Problem-hard であり、これは SETH の下で未パラメータ化問題と同程度に難しいことを意味する。
• 直径と最大次数の組み合わせパラメータに関する k^{O(1)}(n + m)^{2−ε} 時間アルゴリズムが存在するならば、SETH が否定されることになる。
• 直径と h-index の組み合わせパラメータに対して、f(k)(n + m) 時間のアルゴリズムが提供されており、実用的なパラメータ化アプローチを可能にしている。
• CNF論理式が充足可能であることと、直径がちょうど 5 であるグラフの構築により、支配数や無環彩色数だけでは、SETH を否定しない限り f(k)(n + m)^{2−ε} 時間アルゴリズムを得ることはできないことが示された。