[論文レビュー] Multivariate analysis of short time series in terms of ensembles of correlation matrices

Manan Vyas, Thomas Guhr+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2018

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 43被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、大規模な特異的データ行列から非特異的時間系列サブセットをランダムに抽出することで、多次元的短時間系列の解析に向けた新しいアンサンブル手法を提案する。この手法により、相関行列の固有値に対する統計的分析が安定化され、特異的相関行列に起因する不良な統計的性質を克服する。非特異的相関行列のアンサンブルを生成することで、固有値の分布全体および外れ値を的確に捉えることができ、相関付きWishartアンサンブルの数値的シミュレーションと解析的結果の間で強い一致が得られた。

ABSTRACT

When dealing with non-stationary systems, for which many time series are available, it is common to divide time in epochs, i.e. smaller time intervals and deal with short time series in the hope to have some form of approximate stationarity on that time scale. We can then study time evolution by looking at properties as a function of the epochs. This leads to singular correlation matrices and thus poor statistics. In the present paper, we propose an ensemble technique to deal with a large set of short time series without any consideration of non-stationarity. Given a singular data matrix, we randomly select subsets of time series and thus create an ensemble of non-singular correlation matrices. As the selection possibilities are binomially large, we will obtain good statistics for eigenvalues of correlation matrices, which are typically not independent. Once we defined the ensemble, we analyze its behavior for constant and block-diagonal correlations and compare numerics with analytic results for the corresponding correlated Wishart ensembles. We discuss differences resulting from spurious correlations due to repetitive use of time-series. The usefulness of this technique should extend beyond the stationary case if, on the time scale of the epochs, we have quasi-stationarity at least for most epochs.

研究の動機と目的

• N >> T である短時間系列から導かれる相関行列の統計的信頼性の低さ（特異的行列で、非ゼロ固有値がT−1個に限られる）を解決すること。
• 定常性を仮定しない状況でも、固有値分布（特に外れ値とバルクスペクトル）の堅牢な統計的分析を可能にする手法の開発。
• ブロック対角的および定常的相関構造を有するモデル系に本手法を適用し、数値的結果と相関付きWishartアンサンブルからの解析的予測を比較すること。
• アンサンブル構築における時間系列の繰り返し使用が、固有値外れ値分布に与える影響を調査すること。
• 非定常的または準定常的系における不安定化の兆候（例：臨界遷移付近）を検出するための本手法の有効性を示すこと。

提案手法

• N >> T であるため特異的となるN × Tのデータ行列を構築し、これにより得られる相関行列は非ゼロ固有値をT−1個しか持たない。
• 元のN個の時間系列の中から重複のないm個（m << N）の時間系列をランダムに選択し、m × Tのデータ行列のアンサンブルを構成。各行列内では時間系列が重複せず、アンサンブル全体でも同一の行列が重複しないようにする。
• 各選択されたサブセットに対して相関行列を計算し、非特異的相関行列の集合を生成。この集合は「非特異的ランダム選択アンサンブル（NSRSE）」と呼ぶ。
• NSRSEの固有値密度および外れ値分布（最大および第二最大固有値）を分析し、時間系列を復元抽出で選択する「実験的ランダム選択アンサンブル（ERSE）」と比較する。
• 鞍点近似およびマイクロカノニカル／カノニカル正規化を用いて、特に尾部および外れ値における固有値分布をモデル化する。
• 定常的およびブロック対角的相関構造を持つ相関付きWishartアンサンブルの解析的解と照合して、結果の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 N >> T である短時間系列から形成される特異的相関行列から、どのようにして固有値統計を信頼性高く抽出できるか？
• RQ2 非復元抽出（NSRSE）と復元抽出（ERSE）の違いが、固有値外れ値分布に与える影響は何か？
• RQ3 アンサンブルの固有値分布が、ブロック対角的または定常的相関構造を持つ相関付きWishartアンサンブルの解析的予測とどの程度一致するか？
• RQ4 アンサンブル構築における時間系列の繰り返し使用が、固有値外れ値の統計的性質にどのように歪みをもたらすか？
• RQ5 本アンサンブル手法は、個々の相関行列が特異的であっても、非定常的系における不安定化の兆候や臨界遷移の前兆を検出できるか？

主な発見

• NSRSE手法により、特異的データ行列から大規模かつ非特異的な相関行列アンサンブルを効果的に生成でき、固有値分布の信頼性ある統計的分析が可能となった。
• アンサンブルのバルク固有値密度は、定常的およびブロック対角的相関構造の両方において、相関付きWishartアンサンブルからの解析的予測とよく一致した。
• NSRSEにおける外れ値固有値（最大および第二最大）は、正規分布でよく近似可能であり、時間系列の繰り返し使用に起因する差異により、ERSEとは著しく異なるモーメントを持つ。
• ERSEにおける時間系列の繰り返し使用は、アンサンブルメンバー間の相関を強め、外れ値分布を歪め、NSRSEに比べて分散が大きくなる。
• 本手法は、Isingモデルのシミュレーションでも示されたように、完全な時間系列の一部しか使用しなくても、固有値スペクトルにおけるべき乗則的挙動などのスペクトル的特徴を的確に捉えることができた。
• アンサンブルアプローチにより、1つの特異的相関行列からは得られない高次相関関数（例：2点および3点関数）の解析が可能となった。