[論文レビュー] Multivariate approximation by polynomial and generalised rational functions

R. Díaz Millán, Vinesha Peiris+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2021

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ひとこと要約

本稿では、一般化された有理関数を用いた多変数チェビシェフ近似の最適化に基づく手法を提案し、関連する最適化問題が準凸であることを示し、バイセクション法と線形計画法を組み合わせて解けることを示している。この手法は、多項式近似よりも滑らかでない・リプシッツでない関数に対して、計算コストが高くなるものの、より優れた近似精度を達成する。

ABSTRACT

In this paper we develop an optimisation based approach to multivariate Chebyshev approximation on a finite grid. We consider two models: multivariate polynomial approximation and multivariate generalised rational approximation. In the second case the approximations are ratios of linear forms and the basis functions are not limited to monomials. It is already known that in the case of multivariate polynomial approximation on a finite grid the corresponding optimisation problems can be reduced to solving a linear programming problem, while the area of multivariate rational approximation is not so well understood.In this paper we demonstrate that in the case of multivariate generalised rational approximation the corresponding optimisation problems are quasiconvex. This statement remains true even when the basis functions are not limited to monomials. Then we apply a bisection method, which is a general method for quasiconvex optimisation. This method converges to an optimal solution with given precision. We demonstrate that the convex feasibility problems appearing in the bisection method can be solved using linear programming. Finally, we compare the deviation error and computational time for multivariate polynomial and generalised rational approximation with the same number of decision variables.

研究の動機と目的

• 単変数の文脈で用いられてきた一般化された有理関数近似を多変数関数へと拡張すること。
• 多変数一般化有理関数近似問題が、単項式でない基底関数を含んでも、依然として準凸のままであることを示すこと。
• バイセクション法と凸可行性問題を組み合わせた、堅牢で収束性を有するアルゴリズムの開発。
• 同じ意思決定変数の数を用いた場合に、多変数多項式近似と一般化有理関数近似の性能を比較すること。
• 滑らかでない・リプシッツでない関数において、多項式近似が非効率である場合に、本手法の有効性を評価すること。

提案手法

• 本稿では、多変数チェビシェフ近似を、多項式および一般化有理関数の両方について、準凸最適化問題として定式化する。
• 一般化有理関数近似問題を解くために、準凸最適化に一般的に用いられるバイセクション法を適用する。
• バイセクションの各ステップで、有限グリッド上で近似する場合、可能性のサブ問題は線形計画問題に還元される。
• 基底関数が単項式に制限されない、線形形式の比を用いる。これにより、柔軟な近似構造が可能になる。
• アルゴリズムは、所定の精度内で最適解に収束することが保証される。
• 数値実験により、同じパラメータ数を用いた多項式モデルと一般化有理関数モデルの間で、近似誤差と計算時間を比較した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化有理関数近似は、基底関数が単項式でない場合であっても、多変数関数へと効果的に拡張可能であり、最適化問題の準凸性を保つことができるか？
• RQ2 多変数一般化有理関数近似の性能は、多変数多項式近似と比較して、誤差および計算時間の観点でどのように異なるか？
• RQ3 滑らかでない・リプシッツでない関数において、一般化有理関数近似は多項式近似を上回る性能を示すか？
• RQ4 非単項式基底関数を有する多変数一般化有理関数近似に、バイセクション法を効率的に適用できるか？
• RQ5 一般化有理関数と多項式を比較した場合、計算コストと近似精度のトレードオフはどのようなものか？

主な発見

• 基底関数が単項式でない場合であっても、多変数一般化有理関数近似問題は、依然として準凸のままである。これにより、バイセクション法の適用が可能になる。
• バイセクション法は所定の精度内で最適解に収束し、有限グリッド上では可能性のサブ問題が線形計画法により解ける。
• 同じ数の意思決定変数を用いた場合、一般化有理関数近似の最大偏差は0.1720にまで低下し、多項式近似の高い誤差と比べて顕著に低い。
• 一般化有理関数近似の計算時間は約12分（725.2468秒）であったが、多項式近似は1分未塔であった。
• 計算コストが高くなるものの、滑らかでない・リプシッツでない関数（例：f(x,y)）において、一般化有理関数は急激な変化をより良く捉えている。
• 得られた有理関数近似は、R(A,B,x,y) = (0.1720 + 6.6221x² + 6.6221y²) / (1 + 4.9000x² + 4.9036y²) であり、有効な形状回復が達成された。