[論文レビュー] Multivariate extensions of the Multilevel Best Linear Unbiased Estimator for ensemble-variational data assimilation

Mayeul Destouches, Paul Mycek+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2023

Soil Geostatistics and Mapping参考文献 14被引用数 8

ひとこと要約

この技術報告はMLBLUEを多次元ケースに拡張し、乱数ベクトルと共分散行列のいくつかの多階層推定量を提案し、分散最小化の下での最適ウェイト付け、局在化、およびMOSAPを論じる。

ABSTRACT

Multilevel estimators aim at reducing the variance of Monte Carlo statistical estimators, by combining samples generated with simulators of different costs and accuracies. In particular, the recent work of Schaden and Ullmann (2020) on the multilevel best linear unbiased estimator (MLBLUE) introduces a framework unifying several multilevel and multifidelity techniques. The MLBLUE is reintroduced here using a variance minimization approach rather than the regression approach of Schaden and Ullmann. We then discuss possible extensions of the scalar MLBLUE to a multidimensional setting, i.e. from the expectation of scalar random variables to the expectation of random vectors. Several estimators of increasing complexity are proposed: a) multilevel estimators with scalar weights, b) with element-wise weights, c) with spectral weights and d) with general matrix weights. The computational cost of each method is discussed. We finally extend the MLBLUE to the estimation of second-order moments in the multidimensional case, i.e. to the estimation of covariance matrices. The multilevel estimators proposed are d) a multilevel estimator with scalar weights and e) with element-wise weights. In large-dimension applications such as data assimilation for geosciences, the latter estimator is computationnally unaffordable. As a remedy, we also propose f) a multilevel covariance matrix estimator with optimal multilevel localization, inspired by the optimal localization theory of Ménétrier and Auligné (2015). Some practical details on weighted MLMC estimators of covariance matrices are given in appendix.

研究の動機と目的

• biased-free estimation at multiple fidelities の分散最小化構築を動機づける。
• スカラー期待値から乱数ベクトルおよび共分散行列へ MLBLUE を拡張する。
• スカラー、場、行列ウェイトを含む推定量を提案し、座標変換および局在化アプローチを含む。
• 大規模地球科学応用の予算制約下での計算コスト、サンプル配分、モデル選択を議論する。

提案手法

• バイアスなし制約の下で分散最小化を再構成し、最適ウェイトを導出する。
• 平均推定を乱数ベクトルの期待値へ一般化し、場および行列ウェイトを持つ多次元MLBLUEを導出する。
• 高次元出力に対処するために、スカラーウェイト、場ウェイト、座標変換を伴う場ウェイトを導入する。
• 共分散推定と局在化を、最適局在化理論に着想を得た局在化を用いて拡張する。
• 予算制約下のモデル選択のためのMOSAPアプローチと半正定値プログラミングによる定式化を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 MLBLUE フレームワークをスカラー期待値から乱数ベクトルとその共分散構造へどのように拡張できるか。
• RQ2 unbiasedness 制約の下で多次元 MLBLUE の最適ウェイト付け方式（スカラー、場、行列）は何か。
• RQ3 局在化を含む共分散推定を MLBLUE に組み込み、巨大次元で実行可能な戦略は何か。
• RQ4 偏りなく推定量の分散を最小化しつつ、コストを意識したサンプル配分とモデル選択の方法は何か。
• RQ5 地球科学データ同化における共分散行列の多階層局在化を最適設計できるか。

主な発見

• 分散最小化によるMLBLUEの導出は、多次元推定量の明示的な最適ウェイトを与える。
• スカラー、場、行列のウェイト付け方式は MLBLUE を乱数ベクトルへ拡張し、空間依存および基底変換された推定量を可能にする。
• 共分散推定と局在化を組み込むことができ、実用的な大規模問題に対して次元に線形でスケールするアプローチを提供する。
• 予算制約下のモデル選択とサンプル配分を可能にする半正定値プログラミングによる実用的な MOSAP 定式化。
• このフレームワークは、スカラー期待値、乱数ベクトル、および共分散行列の推定を、分散の凸性特性が証明可能な形でサポートする。