[論文レビュー] Multivariate Gaussian Random Fields with Oscillating Covariance Functions using Systems of Stochastic Partial Differential Equations

Xiangping Hu, Finn Lindgren+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2013

Soil Geostatistics and Mapping参考文献 42被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、確率的偏微分方程式（SPDE）の系を用いて、振動型共分散関数を有する多次元ガウスランダムフィールド（GRF）を構築する新しい手法を提案する。振動型ノイズ過程を有する三角形のSPDE系を設計することにより、振動パラメータを直接制御可能にするとともに、非負定性とスパースな精度行列を保証し、ガウスマルコフランダムフィールド（GMRF）近似による計算の効率化を実現する。

ABSTRACT

In this paper we propose a new approach for constructing \emph{multivariate} Gaussian random fields (GRFs) with oscillating covariance functions through systems of stochastic partial differential equations (SPDEs). We discuss how to build systems of SPDEs that introduces oscillation characteristics in the covariance functions of the multivariate GRFs. By choosing different parametrization of the equations, some GRFs can be made with oscillating covariance functions but other fields can have Matérn covariance functions or close to Matérn covariance functions. The multivariate GRFs constructed by solving the systems of SPDEs automatically fulfill the hard requirement of nonnegative definiteness for the covariance functions. The approximate weak solutions to the systems of SPDEs are used to represent the multivariate GRFs by multivariate Gaussian \emph{Markov} random fields (GMRFs). Since the multivariate GMRFs have sparse precision matrices (inverse of the covariance matrices), numerical algorithms for sparse matrices can be applied to the precision matrices for sampling and inference. Thus from a computational point of view, the \emph{big-n} problem can be partially solved with these types of models. Another advantage of the method is that the oscillation in the covariance function can be controlled directly by the parameters in the system of SPDEs. We show how to use this proposed approach with simulated data and real data examples.

研究の動機と目的

• 非負定性を満たす振動型共分散関数を有する多次元GRFを構築する課題に対処すること。
• 単変量GRFに適用されるSPDEアプローチを、振動制御が柔軟に可能な多次元設定に拡張すること。
• SPDE系を活用してスパースなGMRF表現を介し、計算の効率性を確保すること。
• パrameterizationにより、一部の成分がMatérn型、振動型、または混合型の共分散構造をとることを可能にするフレームワークを提供すること。
• スパース行列アルゴリズムを用いた実用的な推論およびベイズ計算のためのINLA統合を可能にすること。

提案手法

• フィールド間の依存関係を分離し、ハイパーパrameterを削減するため、三角行列型のSPDE作用素行列を用いてSPDE系を定式化する。
• 結果として得られるGRF共分散関数における振動周波数を制御するパrameterを有する振動型ノイズ過程を導入する。
• SPDE系の弱解を用いて、スパースな精度行列を有する多次元GMRFとして多次元GRFを表現する。
• 非振動型ノイズの場合のパラメータ同定性を保証するため、制約条件 $\kappa_{n_1}^2 = h_{11}$ を適用する。
• SPDE-GMRFリンクを活用して、スパース行列アルゴリズムを用いた高速なサンプリングと推論を実現する。
• 作用素行列におけるパrameterizationの柔軟性を活用し、相互相関の範囲とフィールド固有の共分散型を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負定性を保証しつつ、振動型共分散関数を有する多次元GRFをどのように構築できるか？
• RQ2 多次元GRFにおける振動パラメータを直接制御可能なSPDE系の構造は何か？
• RQ3 SPDE-GMRFリンクを、計算の効率性を確保するために、多次元かつ振動型共分散関数にどのように拡張できるか？
• RQ4 SPDE系の異なるパrameterizationは、結果として得られる共分散構造およびモデルの同定性にどのような影響を与えるか？
• RQ5 提案手法により、1つの多次元モデル内でMatérn型と振動型の混合共分散構造を有するGRFを生成可能か？

主な発見

• 提案されたSPDE系は、自動的に得られる多次元共分散関数の非負定性を保証する。
• 共分散関数における振動は、ノイズ過程の振動パラメータ $\omega$ によって直接制御される。
• 三角形SPDE系によりハイパーパrameterが削減され、個々のフィールドに対して振動型・非振動型の振るまいを明確に割り当てられる。
• GMRFによる多次元GRF表現は、スパースな精度行列をもたらし、スパース行列アルゴリズムを用いた効率的なサンプリングと推論を可能にする。
• シミュレーションおよび実データの例から、本手法が振動パターンを有する複雑な空間的依存関係のモデリングに有効であることが示された。
• 本手法はベイズ推論のためのINLAフレームワークと互換性があり、実世界の空間データへの実用的応用を可能にする。