[論文レビュー] Multivariate Generalized Linear Mixed Models for Joint Estimation of Sporting Outcomes

Jennifer Broatch, Andrew T. Karl|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2017

Sports Analytics and Performance参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、複数のスポーツ成績（例：勝敗差、勝敗、ペナルティヤード）を、異なる反応分布（正規分布、ポアソン分布、二項分布など）に応じた相関のあるチームレベルのランダム効果をモデル化することで、同時に推定する多変量一般化線形混合モデル（GLMM）を提案する。この手法は、反応変数同士の相関が強い場合に特に予測精度を向上させ、複数のパフォーマンス指標にわたるチームレベルの効果に関する推論を可能にする。NCAAフットボールおよびバスケットボールデータを用いた実証では、Rパッケージ mvglmmRank を用いて有効性が示された。

ABSTRACT

This paper explores improvements in prediction accuracy and inference capability when allowing for potential correlation in team-level random effects across multiple game-level responses from different assumed distributions. First-order and fully exponential Laplace approximations are used to fit normal-binary and Poisson-binary multivariate generalized linear mixed models with non-nested random effects structures. We have built these models into the R package mvglmmRank, which is used to explore several seasons of American college football and basketball data.

研究の動機と目的

• 個々に扱うのではなく、複数の試合レベルの成績を同時にモデリングすることで、スポーツアナリティクスにおける予測精度を向上させること。
• 異なる反応タイプ（例：得点、勝敗、ペナルティ）にわたるチームレベルのランダム効果の相関を、多変量正規分布を用いてモデル化すること。
• 個々のモデルが極端な記録（例：全勝チーム）により不安定になる場合でも、チーム固有の攻撃力・防御力・勝利確率効果を同時に推論可能にするための手法を提供すること。
• 正規分布、ポアソン分布、二項分布を併用する混合分布を有するスポーツデータに対して、安定した計算フレームワークを構築すること。
• 実務家が実世界のスポーツデータセットで共同モデリングを実装・テストできるオープンソースのRパッケージ（mvglmmRank）を提供すること。

提案手法

• 非ネストされたランダム効果構造を有する多変量GLMMを定式化し、異なる反応タイプにわたるチームレベルのランダム効果の相関を許容する。
• 非ガウス分布の反応に対して効率的なパラメータ推定を実現するため、一次近似および完全な指数型ラプラス近似を用いる。
• 反応変数を異なる分布でモデル化する：高得点スポーツ（例：バスケットボール）には正規分布、低得点スポーツ（例：サッカー）にはポアソン分布、勝敗結果には二項分布を適用する。
• 推定の正則化および極端なチーム記録への耐性を高めるために、チームレベルのランダム効果（攻撃、防御、勝利確率）に多変量正規分布の事前分布を課す。
• パフォーマンス指標と勝利結果の間の依存関係を捉えるために、ランダム効果の共分散構造（G行列とR行列）を推定する。
• Rパッケージ mvglmmRank にモデルを実装し、モデルフィッティング（mvglmmRank）、予測（game.pred）、ヘッシアンベースの推論のための関数を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 得点と勝敗などの複数のスポーツ成績を同時にモデリングすることで、単変量モデルと比較して予測精度が向上するか？
• RQ2 異なる反応タイプにわたるチームレベルのランダム効果の相関が、モデルの性能および予測誤差に与える影響は何か？
• RQ3 個々のモデルがスパarsely または極端なデータにより不安定になる状況下でも、共同モデリングがチームレベルの効果（例：攻撃力・防御力）の推論を改善できるか？
• RQ4 反応分布の選択（正規分布対ポアソン分布対二項分布）が、異なるスポーツにおけるモデルの適合度および予測性能に与える影響は何か？
• RQ5 高リスクの結果（例：ナショナルチャンピオンシップゲーム）を予測する際、単一反応モデルと比較して、共同モデルはどのように性能を発揮するか？

主な発見

• 交差検証において、特に勝敗結果が試合レベルの反応と強く相関している場合、複数の反応変数に対して中央値の対数損失および絶対残差が著しく改善された。
• 正規分布・二項分布モデルは2012年のナショナルチャンピオンシップでノートルダム大がアラバマ大に勝つ確率を22.2％と予測したが、単変量の二項モデルはノートルダム大の勝利確率を誤って62.5％と予測した。
• 相関のあるランダム効果を有する多変量モデルは、全勝または全敗チームの推定を安定化させ、共有されるチームレベルの効果を通じて勝利確率レーティングを正則化した。
• 勝利確率と攻撃・防御効果の間の推定相関は高く（例：勝利確率と攻撃力の間で0.855）、チーム力と勝利結果との強い関連性を示した。
• mvglmmRankパッケージは、ラプラス近似を用いて、最大3つの反応変数（例：1プレーあたりのヤード数、スティック、勝敗）を同時にフィットさせることができ、計算の安定性とスケーラビリティを示した。
• モデルから得られたヘッシアンベースの標準誤差は、不確実性の評価に用いられ、完全なヘッシアン行列は推論およびモデル診断に利用可能であった。