[論文レビュー] Multivariate Newton Interpolation

Michael Hecht, Karl B. Hoffmann+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2018

Mathematical functions and polynomials参考文献 46被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、新規の多変数差分商スキームを用いて、任意次元への単変数ニュートン補間を一般化する多変数ニュートン補間フレームワークを提示する。PIP-SOLVERアルゴリズムは、O(N²)の時間計算量とO(N)の記憶領域を用いて補間多項式を計算し、周期的でSobolev関数 f に対して k > m/2 を満たす場合に一様収束を保証する、一意的（unisolvent）なニュートン・チェビシェフ節点を導入することで、ルンゲの現象を回避する。

ABSTRACT

For $m,n \in \mathbb{N}$, $m\geq 1$ and a given function $f : \mathbb{R}^m\longrightarrow \mathbb{R}$, the polynomial interpolation problem (PIP) is to determine a unisolvent node set $P_{m,n} \subseteq \mathbb{R}^m$ of $N(m,n):=|P_{m,n}|=\binom{m+n}{n}$ points and the uniquely defined polynomial $Q_{m,n,f}\in Π_{m,n}$ in $m$ variables of degree $\mathrm{deg}(Q_{m,n,f})\leq n \in \mathbb{N}$ that fits $f$ on $P_{m,n}$, i.e., $Q_{m,n,f}(p) = f(p)$, $\forall\, p \in P_{m,n}$. For $m=1$ the solution to the PIP is well known. In higher dimensions, however, no closed framework was available. We here present a generalization of the classic Newton interpolation from one-dimensional to arbitrary-dimensional spaces. Further we formulate an algorithm, termed PIP-SOLVER, based on a multivariate divided difference scheme that computes the solution $Q_{m,n,f}$ in $\mathcal{O}\big(N(m,n)^2\big)$ time using $\mathcal{O}\big(mN(m,n)\big)$ memory. Further, we introduce unisolvent Newton-Chebyshev nodes and show that these nodes avoid Runge's phenomenon in the sense that arbitrary periodic Sobolev functions $f \in H^k(Ω,\mathbb{R}) \subsetneq C^0(Ω,\mathbb{R})$, $Ω=[-1,1]^m$ of regularity $k >m/2$ can be uniformly approximated, i.e., $ \lim_{n ightarrow \infty}||\,f -Q_{m,n,f} \,||_{C^0(Ω)}= 0$. Numerical experiments demonstrate the computational performance and approximation accuracy of the PIP-SOLVER in practice. We expect the presented results to be relevant for many applications, including numerical solvers, quadrature, non-linear optimization, polynomial regression, adaptive sampling, Bayesian inference, and spectral analysis.

研究の動機と目的

• 単変数ニュートン補間を任意次元に一般化し、多変数多項式補間のための閉形式フレームワークを提供すること。
• O(N(m,n)²)の時間計算量とO(N(m,n))の記憶領域を用いて補間多項式を計算する効率的なアルゴリズム、PIP-SOLVERを開発すること。
• 高次元における周期的Sobolev関数に対してルンゲの現象を回避する、一意的（unisolvent）なニュートン・チェビシェフ節点を導入すること。
• 提案された節点集合と補間スキームを用いた多項式近似の理論的収束限界を確立すること。
• 安定的かつスケーラブルな補間手法を提供することで、数値ソルバーや最適化、回帰、スペクトル解析への実用的応用を可能にすること。

提案手法

• m次元空間におけるニュートン補間の基盤として、多変数差分商スキームを提案し、単変数ニュートン基底を高次元に拡張する。
• 任意の f に対して一意的な補間多項式 Q_{m,n,f} ∈ Π_{m,n} を保証する、基数 N(m,n) = (m+n choose n) の一意的（unisolvent）な節点集合 P_{m,n} ⊆ ℝ^m を定義する。
• 多変数差分商スキームに基づくPIP-SOLVERアルゴリズムを設計し、O(N(m,n)²)の時間計算量とO(N(m,n))の記憶領域使用量を達成する。
• チェビシェフ多項式から導出される特定の一意的（unisolvent）な節点構成として、ニュートン・チェビシェフ節点を導入し、ルンゲの現象を回避することが証明された。
• Sobolev空間理論を用い、k > m/2 の条件下でLebesgue定数を抑え、Ω = [-1,1]^m 上で周期的関数 f に対して Q_{m,n,f} が f に一様収束することを証明する。
• 階層的節点順序付けを用いた多変数ニュートン基底多項式の再帰的構成により、数値的安定性と効率性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単変数ニュートン法を任意次元に拡張する多変数ニュートン補間の一般フレームワークを構築可能か？
• RQ2 多変数差分商スキームを用いた補間多項式の計算における時間計算量と記憶領域使用量は何か？また、時間と記憶領域の両方で最適化可能か？
• RQ3 一意的（unisolvent）なニュートン・チェビシェフ節点は、k > m/2 を満たす周期的Sobolev関数に対して、補間多項式が真の関数に一様収束するか？
• RQ4 n → ∞ のとき近似誤差はどのように振る舞い、Sobolevノルムを用いて収束速度を有界化できるか？
• RQ5 提案手法は、数値ソルバーや回帰、ベイズ推論といった実用的問題に、安定性と正確性を保証して応用可能か？

主な発見

• PIP-SOLVERアルゴリズムは、O(N(m,n)²)の時間計算量とO(N(m,n))の記憶領域を用いて多変数補間多項式を計算し、スケーラブルな高次元補間を可能にする。
• 一意的（unisolvent）なニュートン・チェビシェフ節点は、f ∈ H^k(Ω,ℝ) かつ k > m/2 で Ω = [-1,1]^m 上で周期的であるすべての関数 f に対して、||f - Q_{m,n,f}||_{C⁰(Ω)} → 0 が n → ∞ のとき成り立つように構築されている。
• Sobolev正則性条件の下でLebesgue定数が有界であるため、構成上、周期的Sobolev関数に対してルンゲの現象を回避する。
• 数値実験により、さまざまなテスト関数と次元において、PIP-SOLVERの計算性能と近似精度が確認された。
• 理論的枠組みは単変数ニュートン補間を一般化し、今後の拡張の基盤を提供する。例えば、多変数バーチカルラグランジュ補間やヘルミート補間への応用が可能である。
• 本手法は、節点を自由に選べる計算可能な f に限定される。固定または散在したデータセットに対しては、リサンプリングなしでは直接適用できない。