[論文レビュー] Multivariate normal approximation on the Wiener space: new bounds in the convex distance

Ivan Nourdin, Giovanni Peccati+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2020

Random Matrices and Applications参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ガウス場の滑らかな関数型のベクトルの分布と正定値共分散をもつ多変量正規分布との間の凸距離について、鋭い明示的評価を確立する。シュルトゥエとユキチ（2019）が最近開発した凸距離の再帰的推定とマリヤン・シュタイン法を組み合わせることで、対数因子を追加することなく、1-ウォッシャー施設距離の評価と一致する評価を導出する。これにより、非 i.i.d. の多次元設定において、最適な定量的近似が得られる。

ABSTRACT

We establish explicit bounds on the convex distance between the distribution of a vector of smooth functionals of a Gaussian field, and that of a normal vector with a positive definite covariance matrix. Our bounds are commensurate to the ones obtained by Nourdin, Peccati and Réveillac (2010) for the (smoother) 1-Wasserstein distance, and do not involve any additional logarithmic factor. One of the main tools exploited in our work is a recursive estimate on the convex distance recently obtained by Schulte and Yukich (2019). We illustrate our abstract results in two different situations: (i) we prove a quantitative multivariate fourth moment theorem for vectors of multiple Wiener-Itô integrals, and (ii) we characterise the rate of convergence for the finite-dimensional distributions in the functional Breuer-Major theorem.

研究の動機と目的

• ガウス場の滑らかな関数型のベクトルと多変量正規分布との間の凸距離に対する明示的かつ最適な評価を導出すること。
• 高次元ガウス近似における凸距離と1-ウォッシャー施設距離の評価の間のギャップを埋めること。
• 複数のウィエン＝イトウ積分に対する定量的多変量四次モーメント定理を確立すること。
• 凸距離を用いて関数的ブロイアー＝マジョール定理における収束速度を特徴付けること。

提案手法

• ウィエン空間上での正規近似にマリヤン・シュタイン法を適用する。
• シュルトゥエとユキチ（2019）が最近開発した凸距離の再帰的推定を適用する。
• ウィエン＝イトウホワイト・チャノン展開を用いてガウス場の滑らかな関数型を表現する。
• ノルディン、ペカティ、レヴィラック（2010）の1-ウォッシャー施設距離の推定と一致するが、対数因子を含まない評価を導出する。
• 2つの主要な設定にこの枠組みを適用する：多変量四次モーメント定理と関数的ブロイアー＝マジョール定理。
• 等周定数 Γ(Σ) を用いて、ウォッシャー施設距離を用いた凸距離の制御を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元ガウス近似における凸距離評価を、対数因子を追加せずに1-ウォッシャー施設距離の評価と同等に鋭くできるか。
• RQ2 シュルトゥエとユキチ（2019）が開発した再帰的凸距離推定をウィエン空間設定にどのように適応できるか。
• RQ3 複数のウィエン＝イトウ積分の多変量正規近似における凸距離において、最適な四次モーメント条件は何か。
• RQ4 関数的ブロイアー＝マジョール定理における有限次元分布の収束速度は、凸距離を用いてどのように特徴付けられるか。
• RQ5 ウォッシャー施設距離を中間ステップとして用いずに、マリヤン・カリキュラスノルムを直接用いて凸距離を評価できるか。

主な発見

• 本稿は、ノルディン、ペカティ、レヴィラック（2010）の1-ウォッシャー施設距離評価と一致するが、追加の対数因子を含まない凸距離評価を確立する。
• 導出された評価は、絶対定数の違いを除き、最良の既知の1-ウォッシャー施設距離推定と一致するという意味で最適である。
• 複数のウィエン＝イトウ積分のベクトルに対する新しい多変量四次モーメント定理が証明され、四次モーメント条件が凸距離における収束の十分条件であることが示された。
• 関数的ブロイアー＝マジョール定理における収束速度が凸距離を用いて特徴付けられ、確率過程に対する鋭い定量的極限定理が得られた。
• 評価式 $ d_c(\textbf{F}, N_Σ) \leq 2\sqrt{2} \Gamma(\Sigma)^{1/2} d_W(\textbf{F}, N_\Sigma)^{1/2} $ が確立され、ここで $ \Gamma(\Sigma) $ は等周定数である。
• 結果はアフィン変換に対して安定であり、凸距離の不変性を保ったままである。