[論文レビュー] Multivariate P-Eulerian polynomials

Petter Brändén, Madeleine Leander|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、自然にラベル付けられた減少森や順序和を含む特定のクラスのラベル付きposetに対して、安定（上半平面でゼロにならない）であることを証明する、一変数P-Euler多項式の安定化拡張としての多変数P-Euler多項式を導入する。主な貢献は、Malvenuto-Reutenauer代数とDyckパス上の新規代数を用いて、直和と順序和の下での安定性を確立することであり、実根性を多変数設定に一般化し、係数の単峰性および対数凹型を精緻化する。

ABSTRACT

The P-Eulerian polynomial counts the linear extensions of a labeled partially ordered set, P, by their number of descents. It is known that the P-Eulerian polynomials are real-rooted for various classes of posets P. The purpose of this paper is to extend these results to polynomials in several variables. To this end we study multivariate extensions of P-Eulerian polynomials and prove that for certain posets these polynomials are stable, i.e., non-vanishing whenever all variables are in the upper half-plane of the complex plane. A natural setting for our proofs is the Malvenuto-Reutenauer algebra of permutations (or the algebra of free quasi-symmetric functions). In the process we identify an algebra on Dyck paths, which to our knowledge has not been studied before.

研究の動機と目的

• ラベル付きposetに対する一変数P-Euler多項式を多変数安定多項式に拡張すること。
• 一変数版が実根性を示すposetのクラスに対して、多変数P-Euler多項式が安定（上半平面でゼロにならない）であることを確立すること。
• Malvenuto-Reutenauer代数と自由準対称関数を用いたフレームワークを構築し、多変数安定性を分析すること。
• Dyckパス上に新しい階数付き代数Dを導入し、文献で未だ未発表のものとして研究すること。
• Stembridgeのピーク多項式を一般化し、多変数P-Euler安定性の下でそのHurwitz安定性を証明すること。

提案手法

• ラベル付きposetの線形拡張における降下および上昇の下端に基づく単項式を用いて、多変数P-Euler多項式を定義する。
• 要素およびそのプライム付きコピーをインデックスとする変数を用い、重み付き単項式で降下および上昇の下端を符号化する。
• 自由準対称関数と斉次性を用いて、直和の下での多変数P-Euler多項式の安定性を証明する。
• 変数の置換と安定性の保存を活用して、AP⊕Q(z) を AP(z) と AQ0(z) を含む積として構成し、順序和の下での安定性を確立する。
• Dyckパス上の新規代数Dを導入し、Dにおける乗法が重み付き和の安定性を保存することを証明する。
• 線形作用素を適用して多変数P-Euler多項式と多変数ピーク多項式を関連付け、変数回転と斉次性を用いてHurwitz安定性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多変数P-Euler多項式の拡張が、上半平面でゼロにならない（安定）である場合、一変数版の実根性が保証されるように構成可能か？
• RQ2 多変数P-Euler多項式の安定性は、posetの直和を尊重するか？
• RQ3 多変数P-Euler多項式をピーク多項式に拡張可能か？ そして、元の多項式が安定である場合、その結果得られる多項式はHurwitz安定か？
• RQ4 Dyckパス上に、乗法が安定性を保存する自然な代数的構造が存在するか？
• RQ5 多変数P-Euler多項式の安定性は、同一のposetに対して多変数ピーク多項式の安定性を示唆するか？

主な発見

• 自然にラベル付けられた減少森に対して、多変数P-Euler多項式は安定（上半平面でゼロにならない）である。
• AP(z) と AQ(z) の安定性から、AP⊔Q(z) の安定性が導かれ、Neggers-Stanley予想が多変数設定に拡張される。
• 順序和の下で多変数P-Euler多項式は安定であり、AP⊕Q(z) は AP(z) と AQ0(z) を含む積として表現可能である。
• Dyckパス上に新しい階数付き代数Dを導入し、Dにおける乗法は重み付き和の安定性を保存する。
• 多変数ピーク多項式 ¯AP(z) は、AP(z) が安定である限りHurwitz安定であり、また ¯AP(x) は実根性を示す。
• 自然にラベル付けられた減少森の双対は、多変数P-Euler多項式が安定であることを示し、双対性の下でも安定性が保存される。