[論文レビュー] Multivariate piecewise linear interpolation of a random field

Konrad Abramowicz, Oleg Seleznjev|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2011

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、d次元単位立方体上の連続確率場に対して、グリッド上のN個の観測値を用いて、多変量区分線形補間子を提案する。局所 stationarity の下で統合平均二乗誤差の正確な漸近的表現を導出し、 Hölder連続性を満たす場に対しては上界を提供する。これにより、次元全体にわたる近似誤差を最小化する最適な knot 分布を確立する。

ABSTRACT

We consider a multivariate piecewise linear interpolation of a continuous random field on a d-dimensional cube. The approximation performance is measured by the integrated mean square error. Multivariate piecewise linear interpolator is defined by N field observations on a locations grid (or design). We investigate the class of locally stationary random fields whose local behavior is like a fractional Brownian field in mean square sense and find the asymptotic approximation accuracy for a sequence of designs for large N. Moreover, for certain classes of continuous and continuously differentiable fields we provide the upper bound for the approximation accuracy in the uniform mean square norm.

研究の動機と目的

• 有限の観測値を用いて、制御可能な近似精度で確率場をモデル化すること。
• 誤差解析のための局所 stationarity 概念を多変量確率場へと拡張すること。
• 局所 stationarity の下で、区分線形補間子の漸近的近似精度を導出すること。
• 次元全体にわたる誤差を最小化する最適なサンプリンググリッド分布を特定すること。
• 微分可能場における一様平均二乗ノルムの近似誤差に対して上界を提供すること。

提案手法

• 区間 [0,1]^d 内のグリッド上でのN個の場の観測値に基づく多変量区分線形補間子を用いる。
• 近似誤差を統合平均二乗誤差（IMSE）および一様平均二乗ノルムによって定義する。
• 領域の l-分解を用いて、次元間での局所的挙動を分析する。
• 局所 stationarity をモデル化するため、平均二乗意味での分数次ブラウン運動場の挙動を用いる。
• 確率ベクトル η および ξ を含む期待値およびノルムの不等式を用いて、正確な漸近的誤差表現を導出する。
• 多変数テイラー展開および一様乱数を用いて、微分可能な場の誤差を上界で制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所 stationarity を満たす多変量区分線形補間の統合平均二乗誤差の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ2 次元全体にわたる近似誤差を最小化するために、サンプリング knot はどのように最適に分布させればよいか？
• RQ3 連続的に微分可能で、Hölder連続性を満たす確率場の場合、一様平均二乗誤差に対してどのような上界を確立できるか？
• RQ4 誤差は次元数および確率場の滑らかさにどのように依存するか？
• RQ5 領域の l-分解は、最適な誤差上界を導出する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 局所 stationarity を満たす確率場（分数次ブラウン運動場の局所的挙動を示すもの）に対して、N → ∞ の下で統合平均二乗誤差の正確な漸近的表現が導出された。
• 最適な次元間 knot 分布は、l-分解における α_j-指数および l_j 次元をバランスさせることで得られ、誤差式を最小化する。
• q.m.連続的かつ連続的に微分可能な場で Hölder 条件を満たす場合、一様平均二乗誤差は ||X - X_N||_∞ ≤ √C ∑_{j=1}^k c_j / n_j^{α_j/2} で上界が与えられ、ここで c_j² = 2^{-α_j} l_j^{1+α_j/2} D_j^{α_j} である。
• 誤差上界は滑らかさパラメータ α_j および最小密度 h_j(s) に依存し、D_j = 1 / min_s h_j(s) である。
• 本手法により、最適な収束速度を達成するための次元間のサンプリング点の割り当てを体系的に行う方法が提供される。
• 本結果は、1次元の区分線形近似を、滑らかさおよび局所 stationarity の仮定の下で多変数へと一般化し、明示的な誤差制御を実現する。