[論文レビュー] Multivariate prediction and matrix Szegö theory

Ν. H. Bingham|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2012

Mathematical functions and polynomials参考文献 46被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、単変量予測理論およびSzegőの定理を、単位円上の行列直交多項式（MOPUC）を用いて多変量設定へと拡張する。主な結果として、行列測度におけるVerblunskyの定理、スペクトル密度とVerblunsky係数を結ぶ行列Szegőの定理、および行列Muckenhoupt型およびHelson-Szegő条件による正則性条件の特徴づけが得られる。

ABSTRACT

Following the recent survey by the same author of Szegö's theorem and orthogonal polynomials on the unit circle (OPUC) in the scalar case, we survey the corresponding multivariate prediction theory and matrix OPUC (MOPUC).

研究の動機と目的

• 単変量予測理論およびSzegőの定理を、単位円上の行列直交多項式（MOPUC）を用いて、多変量ステーションナリィ過程へと拡張すること。
• Verblunskyの定理の行列版を確立し、行列Verblunsky係数と行列スペクトル測度との間の全単射を示すこと。
• 純最小性、正の角条件、完全正則性といった正則性条件を、行列スペクトル密度およびMuckenhoupt型条件を用いて特徴づけること。
• 多変量予測理論をハンケル作用素および行列ネハリ問題と結びつけ、古典的な作用素論的道具を行列設定へと拡張すること。

提案手法

• ステーションナリィなベクトル値過程を単位円上のスペクトル測度によって表現するために、コルモゴロフ同型定理を用いる。
• ベルンシュタイン＝シュレーディンガー近似を適用し、行列版のSzegőの定理を導出する。これにより、$1 - a_n^\dagger a_n$ の行列式の無限積と、$\int \operatorname{tr} \log w(\theta) \, d\theta / 2\pi$ の積分が結びつけられる。
• 行列スペクトル因子分解および行列Szegő関数を用いて、スペクトル密度 $W(\theta)$ 及びその正則性を分析する。
• 正の角条件を行列Muckenhoupt条件 $(A_2)$ を用いて特徴づける：$\sup_I \left\| \left( \frac{1}{|I|} \int_I W \right)^{1/2} \left( \frac{1}{|I|} \int_I W^{-1} \right)^{1/2} \right\| < \infty$。
• 完全正則性の概念を行列設定へと拡張し、$\limsup_{|I| \to 0} \left\| \left( \frac{1}{|I|} \int_I W \right)^{1/2} \left( \frac{1}{|I|} \int_I W^{-1} \right)^{1/2} \right\| < \infty$ という条件によって特徴づける。
• ハンケル作用素およびそれらと行列ネハリ問題との関係を用いて、多変量時系列における予測誤差および正則性を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Verblunskyの定理の行列版とは何か？ また、行列スペクトル測度をパラメトライズするにはどうすればよいか？
• RQ2 Szegőの定理はどのように行列値スペクトル測度へと拡張可能か？ また、Verblunsky係数はこの拡張において果たす役割は何か？
• RQ3 純最小性、正の角条件、完全正則性といったスカラー正則性条件に対応する行列条件は何か？
• RQ4 行列Muckenhoupt条件とHelson-Szegő条件は、多変量予測過程の正則性とどのように関係するか？
• RQ5 Baxterの定理の行列版とは何か？ また、行列ハンケル作用素およびネハリ問題からどのように導出可能か？

主な発見

• MOPUCにおけるVerblunskyの定理が成立する：$\|a_n\| < 1$ を満たす任意の $\ell \times \ell$ 行列の列 $a_n$ は、一意に行列スペクトル測度 $\mu$ に対応する。
• 行列Szegőの定理は、$\sum_{n=1}^\infty \|a_n^\dagger a_n\| < \infty$ が、積分 $\int \operatorname{tr} \log w(\theta) \, d\theta / 2\pi > -\infty$ と同値であることを示し、Szegő測度のクラスを定義する。
• 正の角条件 $(PA)$ は行列Muckenhoupt条件 $(A_2)$ と同値であり、$\sup_I \left\| \left( \frac{1}{|I|} \int_I W \right)^{1/2} \left( \frac{1}{|I|} \int_I W^{-1} \right)^{1/2} \right\| < \infty$ を要請する。
• 完全正則性は、Muckenhoupt条件の強化された $\limsup$ 形式と同値である：$\limsup_{|I| \to 0} \left\| \left( \frac{1}{|I|} \int_I W \right)^{1/2} \left( \frac{1}{|I|} \int_I W^{-1} \right)^{1/2} \right\| < \infty$。
• Helson-Lowdenslagerの定理の行列版が成立する：$\exp \left( \frac{1}{\ell} \int \operatorname{tr} \log w(\theta) \, d\theta / 2\pi \right) = \inf_{A,P} \int \frac{1}{\ell} \operatorname{tr} \left[ (A+P)^\dagger d\mu (A+P) \right]$。
• ハンケル作用素は行列ネハリ問題およびMuckenhoupt条件と関連しており、多変量状況における予測理論と作用素論の橋渡しを果たす。