[論文レビュー] Multivariate Rational Approximation Using a Stabilized Sanathanan-Koerner Iteration

Jeffrey M. Hokanson|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2020

Lightning and Electromagnetic Phenomena参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、古典的な有理関数近似手法における数値的不安定性を克服するため、多変数有理関数近似に適した安定化されたサナタナン＝コイナー（S-SK）反復法を提案する。重み付きアーノルドイ反復を用いて良好に条件付けられたバナデルモンド行列を構築することで、既存の手法と比較して残差ノルムが著しく低く、定義域全域にわたって一様な精度が得られる。

ABSTRACT

The Sanathanan-Koerner iteration developed in 1963 is classical approach for rational approximation. This approach multiplies both sides of the approximation by the denominator polynomial yielding a linear problem and then introduces a weight at each iteration to correct for this linearization. Unfortunately this weight introduces a numerical instability. We correct this instability by constructing Vandermonde matrices for both the numerator and denominator polynomials using the Arnoldi iteration with an initial vector that enforces this weighting. This Stabilized Sanathanan-Koerner iteration corrects the instability and yields accurate rational approximations of arbitrary degree. Using a multivariate extension of Vandermonde with Arnoldi, we can apply the Stabilized Sanathanan-Koerner iteration to multivariate rational approximation problems. The resulting multivariate approximations are often significantly better than existing techniques and display a more uniform accuracy throughout the domain.

研究の動機と目的

• 反復的重み付けによって生じる悪条件性のため、古典的サナタナン＝コイナー（SK）反復法における数値的不安定性を是正すること。
• 全定義域にわたって一貫した精度を維持できる、単変数および多変数有理関数近似の数値的に安定したアルゴリズムの開発。
• 元の非線形問題をよりよく反映する安定化された基底構築を組み込むことで、既存の線形化有理関数近似手法を改善すること。
• 多変数問題への拡張を図るため、アーノルドイ反復を用いた多変数バナデルモンド行列の構築により、条件数を改善したSK反復の拡張。
• パラメトリックAAAや線形化有理関数近似といった最先端の代替手法と比較して、安定化手法が著しく低い残差ノルムを達成することの実証。

提案手法

• 初期ベクトルを重み付きアーノルドイ反復に組み込むことで、SK反復の重み付けを維持するように、分子および分母の両方の多項式基底を良好に条件付けられたものに構築する。
• アーノルドイ過程を用いて多変数多項式のバナデルモンドに類似した行列を生成し、元のシステムが悪条件化しても数値的安定性を保証する。
• 各ステップで重み付き最小二乗問題を解くことで安定化反復を適用する：前回の反復における分母を重みとして含む行列のノルムを最小化する。
• 特異値分解（SVD）を用いて線形化された部分問題を効率的かつ頑健に解き、収束が悪い局所的最小値に陥るのを回避する。
• 同じ安定化アーノルドイフレームワークを用いて、テンソル積グリッドと多変数バナデルモンド行列を構築することで、多変数有理関数近似にこの手法を拡張する。
• 基底行列の構築における数値的精度を向上させるために、古典的グラム＝シュミット法に反復的補正を組み込む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再構築された基底構築によって、古典的サナタナン＝コイナー反復の数値的不安定性は効果的に是正可能か？
• RQ2 重み付きアーノルドイ反復を用いてバナデルモンド行列を構築することで、単変数および多変数設定の両方で、より正確かつ安定した有理関数近似が達成できるか？
• RQ3 ベンチマーク問題において、安定化SK反復はパラメトリックAAAおよび線形化有理関数近似と比較して、残差ノルムと精度分布の点でどのように差がつくか？
• RQ4 他の手法が失敗したり大きな誤差を示す領域でも、安定化手法は定義域全体にわたって一様に低い誤差を達成できるか？
• RQ5 高次元有理関数近似問題において、安定化手法は既存手法と比較して、どの程度残差ノルムを低減できるか？

主な発見

• 1パラメータPenrzモデルでは、安定化SK反復が残差ノルム0.0189を達成し、パラメトリックAAA（0.238）の約1/10、線形化有理関数近似（2.203）の約1/100にまで低減している。
• 2パラメータPenrzモデルでは、次数(11,7,6)において安定化SK反復が残差ノルム0.0291×10⁻⁷にまで低下し、パラメトリックAAA（8.54×10⁻⁶）および線形化近似（1.59×10⁻⁵）を1桁以上も上回っている。
• 本手法は、補間点付近で局所的な精度のピークを示すパラメトリックAAAとは異なり、定義域全域にわたって一様な精度の有理関数近似を生成する。
• 複数の次数およびパrameter範囲にわたり、安定化手法はパラメトリックAAAおよび線形化有理関数近似の両方と比較して、常に低い残差ノルムを達成する。
• 重み付きアーノルドイに基づくバナデルモンド行列の使用は、元のシステムが数値的に不安定化してもSK反復を効果的に安定化させ、悪条件性を防止する。
• アルゴリズムは複数のランダム初期値に対して一貫して収束を示し、レーベンバーグ＝マルクァルトのような非線形最小二乗ソルバーが一般的に直面する悪い局所的最小値に陥らない。