[論文レビュー] Multivariate Regular Variation of Discrete Mass Functions with Applications to Preferential Attachment Networks

Tiandong Wang, Sidney I. Resnick|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2016

Complex Network Analysis Techniques参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、preferential attachmentネットワークにおけるような離散的多次元質量関数を連続密度関数に埋め込むことで、それらが正規化漸近的変動を示す条件を確立する。この研究では、このようなネットワークにおける関連するインデグリーやアウトデグリーの同時分布が非標準的正規化漸近的変動を示すことを証明し、複雑ネットワークにおけるべき乗則的挙動への応用を含めて、多次元正規化漸近的変動理論を離散的設定へと拡張する。

ABSTRACT

Regular variation of a multivariate measure with a Lebesgue density implies the regular variation of its density provided the density satisfies some regularity conditions. Unlike the univariate case, the converse also requires regularity conditions. We extend these arguments to discrete mass functions and their associated measures using the concept that the the mass function can be embedded in a continuous density function. We give two different conditions, monotonicity and convergence on the unit sphere, both of which can make the discrete function embeddable. Our results are then applied to the preferential attachment network model, and we conclude that the joint mass function of in- and out-degree is embeddable and thus regularly varying.

研究の動機と目的

• 連続的密度関数から離散的質量関数への多次元正規化漸近的変動理論の拡張。
• 離散的質量関数が連続関数に埋め込まれるための十分条件（単調性および単位球面上での収束）の特定。
• 正規化漸近的変動理論を、インデグリーとアウトデグリーがべき乗則的挙動を示すpreferential attachmentネットワークに適用する。
• 接続率が異なる場合に、インデグリーとアウトデグリーの同時質量関数が非標準的スケーリングのもとで正規化漸近的変動を示すことを示す。
• ネットワークモデルにおける関連測度の正規化漸近的変動と離散的質量関数との間のギャップを埋める。

提案手法

• 正規化漸近的変動の性質を移転させるために、離散的質量関数を連続的密度関数に埋め込む概念を用いる。
• 2つの埋め込み条件（質量関数の単調性および正規化関数が単位球面上で収束すること）を適用する。
• Karamataの表現および劣化収束定理を用いて、ガンマ関数を含む積分の漸近的挙動を分析する。
• Stirlingの公式の変種（補題4.1）を適用し、コンパクト集合上でガンマ関数比の一様収束を確立する。
• 変数変換を用いて積分を変形し、指数関数的およびべき乗則的項を含む極限積分への収束を分析する。
• 補題4.1を用いて、埋め込み関数の正規化漸近的変動と元の離散的質量関数との関連を確立し、極限関数が正かつ有界であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で離散的多次元質量関数を連続関数に埋め込み、正規化漸近的変動の性質を保持できるか？
• RQ2 多次元設定において、離散的質量関数の正規化漸近的変動は、その関連測度の正規化漸近的変動とどのように関係するか？
• RQ3 インデグリーとアウトデグリーの接続率が異なる場合、preferential attachmentネットワークにおけるインデグリーとアウトデグリーの同時分布は正規化漸近的変動を示すか？
• RQ4 このようなネットワークにおける同時次数分布の漸近的挙動は、多次元正規化漸近的変動を用いて特徴付けられるか？
• RQ5 離散的で重尾を持つネットワークモデルにおける正規化漸近的変動の確立において、質量関数の埋め込みはどのような役割を果たすか？

主な発見

• 接続率が $ c_1 \neq c_2 $ であるpreferential attachmentモデルにおけるインデグリーとアウトデグリーの同時質量関数 $ p(i,j) $ は、スケーリング関数 $ b_1(t) = t^{c_1} $、$ b_2(t) = t^{c_2} $ を用いて非標準的正規化漸近的変動を示す。
• 正規化された質量関数の極限関数は、原点を除くコンパクト集合上で一様収束する。これは式 (4.9) および (4.10) で示されている。
• 極限関数は集合 $ \tilde{\bf E}_0 $ 上で正かつ有界であり、離散的状況における正規化漸近的変動の条件を満たしている。
• 式 (4.8) の積分が $ e^{-(x/z + y/z^a)} $ を含む極限積分に収束することは、尾部挙動の漸近的形を確認する。
• 結果として、離散的質量関数の正規化漸近的変動が関連測度の正規化漸近的変動を示すことが確認され、[25, 26] の結果と整合的である。
• 補題4.1の適用により、ガンマ関数比の一様収束が保証され、これは極限関数の正則性を確立するために不可欠である。