[論文レビュー] Multivariate second order Poincaré inequalities for Poisson functionals

Matthias Schulte, J. E. Yukich|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2018

Point processes and geometric inequalities参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、マリヤン・カスケルとスティーンの方法を用いて、ポアソン関数への多次元2次Poincaré不等式を確立する。これは、1次元の結果をベクトル値関数への拡張したものであり、$d_{\text{convex}}$、$d_2$、$d_3$ 距離におけるポアソン関数のベクトルと正規分布との間の近接性の最適順序の境界を導出する。主な進展は、多次元スティーン方程式の解の2次微分に対する新しい境界の導出に起因する。

ABSTRACT

Given a vector $F=(F_1,\dots,F_m)$ of Poisson functionals $F_1,\dots,F_m$, we investigate the proximity between $F$ and an $m$-dimensional centered Gaussian random vector $N_Σ$ with covariance matrix $Σ\in\mathbb{R}^{m imes m}$. Apart from finding proximity bounds for the $d_2$- and $d_3$-distances, based on classes of smooth test functions, we obtain proximity bounds for the $d_{convex}$-distance, based on the less tractable test functions comprised of indicators of convex sets. The bounds for all three distances are shown to be of the same order, which is presumably optimal. The bounds are multivariate counterparts of the univariate second order Poincaré inequalities and, as such, are expressed in terms of integrated moments of first and second order difference operators. The derived second order Poincaré inequalities for indicators of convex sets are made possible by a new bound on the second derivatives of the solution to the Stein equation for the multivariate normal distribution. We present applications to the multivariate normal approximation of first order Poisson integrals and of statistics of Boolean models.

研究の動機と目的

• ポアソン関数への1次元2次Poincaré不等式を多次元設定に拡張すること。
• 滑らかでない凸テスト関数を用いた $d_{\text{convex}}$-距離の近接境界を確立すること。これは滑らかな関数よりも困難である。
• $d_{\text{convex}}$、$d_2$、$d_3$ の3つの距離に対して、同一（おそらく最適な）収束速度を統一された枠組みで達成すること。
• 多次元スティーン方程式の解の2次微分に関する新しい境界を構築すること。これは $d_{\text{convex}}$-距離の解析を可能にし、独立に価値ある結果である可能性がある。

提案手法

• ポアソンクラウド上のマリヤン＝スティーン法を用い、マリヤン・カスケルとスティーンの方法を組み合わせて、多次元正規近似を実現する。
• 1次および2次差分作用素 $D_xF$ と $D^2_{x_1,x_2}F$ を用い、統合されたモーメントの形で近接境界を表現する。
• 多次元スティーン方程式の解の2次微分に関する新しい境界を導入し、凸集合の指標関数の取り扱いに不可欠である。
• 滑らかでないテスト関数に依存する $d_{\text{convex}}$-距離を制御するため、精密化された推定を用いた滑らかさ補題を適用する。
• ホルダーの不等式と $D_xF$、$D^2_{x_1,x_2}F$ を含むモーメント推定を用いて、$d_{\text{convex}}$、$d_2$、$d_3$ 距離の明示的境界を導出する。
• 古典的多次元中心極限定理における収束速度と一致することを示すことにより、収束速度の最適性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポアソン関数への2次Poincaré不等式は、1次元から多次元設定へ拡張可能か？
• RQ2 $d_{\text{convex}}$-距離（滑らかでない凸テスト関数を用いる）に対して最適収束速度を達成可能か？
• RQ3 $d_{\text{convex}}$-距離を扱うために、多次元スティーン方程式の解の2次微分に関する新たな境界は何か？
• RQ4 $d_{\text{convex}}$、$d_2$、$d_3$ 距離の近接境界が同一のオーダーであるか。これは最適性を示唆するか？
• RQ5 導出された不等式は、ポアソン積分や強度 $\lambda = s\mu$ のブールモデルなどの具体的なモデルに適用可能で、保証された収束速度が得られるか？

主な発見

• 本稿は、$d_{\text{convex}}$、$d_2$、$d_3$ 距離に対して同一のオーダーの近接境界をもたらす多次元2次Poincaré不等式を確立する。
• 3つの距離の境界は、1次および2次差分作用素の統合モーメントの形で表現され、同一（おそらく最適な）収束速度を達成する。
• 多次元スティーン方程式の解の2次微分に関する新しい境界が導出され、$d_{\text{convex}}$-距離の解析が可能になった。
• $d_{\text{convex}}$-距離の境界は、制限的な仮定を課さずに達成され、以前の研究が $d_{\mathbb{H}_\ell}$-距離に依存していたのを改善している。
• 境界は1次ポアソン積分およびブールモデルの統計に適用され、明示的な収束速度が得られた。
• 強度 $\lambda = s\mu$ のブールモデルでは、収束速度が $s^{-1/2}$ のオーダーとなり、古典的多次元中心極限定理と一致する。